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2772時間目 ~漢字一文字~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 興す

Ⅱ 省みる

Ⅲ 古びる

レベルⅡ

Ⅰ 厭う

Ⅱ 童ぐ

Ⅲ 祀る

レベルⅢ

Ⅰ 靠う

Ⅱ 嶜しい

Ⅲ 㝅う

Ⅳ 燂く

特別問題A~数学~

曲線C1:y=tanx (0≦x<π/2)と曲線C2:2sinx (0≦x<π/2)を考える。曲線C1と曲線C2で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。 [富山大]

特別問題B~数学~

f(x)=1-sinxに対し、$g(x)=\int^x_0(x-t)f(t)dt$とおく。このとき、任意の実数x,yについて(g(x+y)+g(x-y)≧2g(x)が成り立つことを示せ。[東京大]


2772時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 興す・・・おこ(す)
意味
①:ひっそりしていたものを目立つ状態にする。
②:新しく物事を始める。
③:気力を充実させる。奮い立たせる。
④:大挙して立ち上がらせる。

Ⅱ 省みる・・・かえり(みる)
意味:自分のしたことを、もう一度考えてみる。

Ⅲ 古びる・・・ふる(びる)
意味
①:古くなる。古臭くなる。
②:老人くさくなる。

レベルⅡ

Ⅰ 厭う・・・いと(う)
意味
①:嫌って避ける。嫌がる。
②:かばう。大事にする。
③:世俗を嫌って離れる。出家する。
④:危険や障害などを避ける。

Ⅱ 童ぐ・・・わらわ(ぐ)
意味:子供らしく見せる。

Ⅲ 祀る・・・まつ(る)
意味
①:儀式をととのえて神霊をなぐさめ、また、祈願する。
②:神として崇め、一定の場所に安置する。
③:上位に据えて尊ぶ。

レベルⅢ

Ⅰ 靠う・・・たが(う)
意味:相違する。一致しない。ちがう。

Ⅱ 嶜しい・・・けわ(しい)
意味:高く鋭いさま。きわめてけわしい。

Ⅲ 㝅う・・・やしな(う)
意味:子に乳を与えて養うこと。

Ⅳ 燂く・・・や(く)
意味:火で熱すること。

特別問題A~数学~

C1とC2の方程式からyを消去するとtanx=2sinx
sinx/cosx=2sinxよりsinx=2sinxcosx→sinx(1-2cosx)=0よりsinx=0、cosx=1/2
ここで0≦x<π/2からx=0、π/3 よって求める体積は
$\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \pi(2\sin x)^2dx-\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \pi(\tan x)^2dx$

$=\pi\int^{\frac{\pi}{3}}_0 (4\sin^2x-\tan^2x)dx$

$=\pi\int^{\frac{\pi}{3}}_0\{4\cdot\frac{1-\cos2x}{2}-(\frac{1}{\cos^2x}-1)\}dx$

$=\pi\int^{\frac{\pi}{3}}_0(3-2\cos2x-\frac{1}{\cos^2x})dx$

$=\pi[3x-\sin2x-\tan x]^{\frac{\pi}{3}}_0$

$=\pi(\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})$

$=\pi(\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

特別問題B~数学~

f(x)=1-sinx・・・①、$g(x)=\int^x_0(x-t)f(t)dt$・・・②
②から$g(x)=x\int^x_0f(t)dt-\int^x_0tf(t)dt$ ∴$g'(x)=\int^x_0f(t)dt$
g''(x)=f(x)=1-sinx≧0(∵①)・・・③
したがって、g'(x)は単調増加関数である。いま、xを任意に選んで1つ固定し、F(y)=g(x+y)+g(x-y)-2g(x)とおくと
F'(y)=g'(x+y)-g'(x-y)
g'は単調増加関数であるから、y≧0のときx+y≧x-yからg'(x+y)≧g'(x-y) ∴F(y)≧0
すなわち
・y≧0ならば、F(y)は単調増加
・y≦0ならば、F(y)は単調減少
∴F(y)≧F(0)=0
xは、任意に選んで固定したものであったからg(x+y)+g(x-y)≧2g(x)が任意の実数x,yについて成り立つことが示された。

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