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2770時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 小草生月

Ⅱ 黄鯝魚

Ⅲ 曹白魚

レベルⅡ

Ⅰ 分分し

Ⅱ 乙兵

Ⅲ 無月星い

レベルⅢ

Ⅰ 小牛螺

Ⅱ 家鳥

Ⅲ 委遐

FINAL

休羽

特別問題A~数学~

定数a,bに対して、f(x)=x3+ax2+bxとおく。曲線y=f(x)がx軸と相異なる3点で交わっているとき、次の問に答えよ。

(1) a,bの満たす条件を求めなさい。
(2) b<0のとき、曲線y=f(x)とx軸で囲まれた2つの図形の面積の和をa,bを用いて表しなさい。
(3) b>0のとき、曲線y=f(x)とx軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるためのa,bの条件を求めなさい。 
[東京理科大]

特別問題B~数学~

集合Sをm2+n2(m,nは整数)の形で表される整数全体の集合、すなわちS={m2+n2|m,nは整数}とする。たとえば、2018=132+432なので2018は集合Sに属する。次の問に答えよ。

(1) aを自然数とする。aがSに属するならば、aを4で割った余りは0,1,2のいずれかであることを示せ。
(2) a,bを自然数とする。a,bがともにSに属するならば、abもまたSに属することを示せ。
(3) 2018より大きく、Sに属する最小の自然数を求めよ。 
[大阪市立大]


2770時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 小草生月・・・こぐさおうづき
意味:陰暦12月の異称。

Ⅱ 黄鯝魚・・・わたか[]
ニシン目ニシン科に属する海水魚。

Ⅲ 曹白魚・・・ひら[]
ニシン目ニシン科に属する海水魚。

レベルⅡ

Ⅰ 分分し・・・わいわい(し)
意味:明らかである。分明である。

Ⅱ 乙兵・・・おくびょう
意味:ちょっとしたことでも怖がったりしり込みする人。臆病。

Ⅲ 無月星い・・・あじけな(い)
意味:面白みや魅力がなくつまらない。

レベルⅢ

Ⅰ 小牛螺・・・かたつむり[]
腹足綱有肺亜綱に属する陸生の巻貝。

Ⅱ 家鳥・・・にわとり[]
キジ目キジ科の鳥を家畜化したもの。

Ⅲ 委遐・・・えび[]
十脚目長尾亜目の甲殻類。

FINAL

休羽・・・はまびし[]
ハマビシ科の一年草。

特別問題A~数学~

(1) f(x)=x(x2+ax+b)であるから、y=f(x)がx軸と相異なる3点で交わる条件は、x2+ax+b=0・・・①が0以外の相異なる2つの実数解をもつことである。よって、b<a2/4かつb≠0
(2) ①の実数解をα、β(α<β)とするとαβ=b<0だからy=f(x)のグラフの概形は
したがって、題意の図形は図の緑色部でその面積をSとすると
$S=\int^0_\alpha f(x)dx+\int^\beta_0 \{-f(x)\}dx$

$=\int^0_\alpha x(x-\alpha)(x-\beta)dx-\int^\beta_0x(x-\alpha)(x-\beta)dx$

$=[\frac{x^4}{4}-\frac{\alpha+\beta}{3}x^3+\frac{\alpha\beta}{2}x^2]^0_\alpha-[\frac{x^4}{4}-\frac{\alpha+\beta}{3}x^3+\frac{\alpha\beta}{2}x^2]^\beta_0$

$=\frac{1}{12}(\alpha^4+\beta^4)-\frac{1}{6}\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
ここで解と係数の関係よりα+β=-a、αβ=bであるから
α2+β2=(α+β)2-2αβ=a2-2b、α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=(a2-2b)2-2b2=a4-4a2b+2b2
∴S=1/12・(a4-4a2b+2b2)-1/6・(a^2-2b)=(a4-6a2b+6b2)/12
(3) α、βを①の実数解とするとαβ=b>0よりα、βは同符号である。
そこで0<|α|<|β|とすると、2つの図形の面積が等しくなる条件は0<α<βの時$\int^\beta_0 f(x)dx=0$・・・②であり
β<α<0のとき$\int^0_\beta f(x)dx=0⇔\int^\beta_0 f(x)dx=0$となって、これは②と同値である。ここで
$\int^\beta_0f(x)dx=\int^\beta_0x(x-\alpha)(x-\beta)dx$

$=\int^\beta_0x(x-\beta)\{\frac{x}{2}+\frac{x-\beta}{2}-(\alpha-\frac{\beta}{2})\}dx$

$=-(\alpha-\frac{\beta}{2})\int^\beta_0x(x-\beta)dx$

$=(\alpha-\frac{\beta}{2})\cdot\frac{1}{6}\beta^3$
したがって、β≠0より②が成り立つ条件はα-β/2=0、β=2α
よって、α+β=-a、αβ=bとから
b=2a2/9

特別問題B~数学~

(1) aがSに属するとき、整数p,qを用いてa=p2+q2と表すことができる。p=2m(m:整数)と表せるとき、p2=4m2は4の倍数である。
p=2m+1と表せるとき、p2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1で、4で割って1余る。
qについても4の倍数か、4で割って1余るかのいずれかである。よって、aを4で割った余りは0+0=0、0+1=1、1+1=2のいずれかである。
(2) bもSに属するとき、整数x,yを用いてb=x2+y2と表せるから
ab=(p2+q2)(x2+y2)=(px)2+(py)2+(qx)2+(qy)2={(px)2+(qy)2+2(px)(qy)}+{(py)2+(qx)2-2(py)(qx)}=(px+qy)2+(py-qx)2と表せる。
よって、abもSに属する。
(3) 2019は4で割って3余るから(1)よりSに属さない。
2020=20・101、20=22+42、101=12+102であるから(2)よりSに属する。したがって
2020

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