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2751時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 菀たる柳あれば、愒うこと尚わざらんや

Ⅱ 本支百世なり

Ⅲ 咫尺を弁せず

Ⅳ 独木林せず

Ⅴ 俎上に載せる

Ⅵ 心事高尚

Ⅶ 怨望隠伏

Ⅷ 暗箭傷人

Ⅸ 一簣の功

Ⅹ 家内狼藉

特別問題A~数学~

空欄を埋めなさい。

楕円x2+2y2=1と直線y=x+kが異なる2点で交わるような定数kの値は[ア]であり、このとき2つの交点の中点は常に直線[イ]上にある。 [北海道工業大]

特別問題B~数学~

座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0)とする△OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCに下ろした垂線をPHとする。OHHPをx,y,zの式で表せ。
(2) 点P(x,y,z)がLの点であるためにはz2≦2xyかつ0≦x+y≦2であることを示せ。
(3) 1≦a≦2とする。Lを平面x=aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4) 立体{(x,y,z)|(x,y,z)∈L,1≦x≦2}の体積を求めよ。 
[神戸大]


2751時間目模範解答

Ⅰ 菀たる柳あれば、愒うこと尚わざらんや・・・えん(たる)やなぎ(あれば)、いこ(うこと)なら(わざらんや)
意味:徳の高い政治家がいれば、だれしもその人の政治のもとに生活したいと希望する。

Ⅱ 本支百世なり・・・ほんしひゃくせい(なり)
意味:家運の繁栄をいう。

Ⅲ 咫尺を弁せず・・・しせき(を)べん(せず)
意味:きわめて近いところも見分けがつかない。

Ⅳ 独木林せず・・・どくぼくりん(せず)
意味:ただ一人の力だけでは、事は成就しないたとえ。

Ⅴ 俎上に載せる・・・そじょう(に)の(せる)
意味:議論や批判などの対象として、物事や人物を取り上げる。

Ⅵ 心事高尚・・・しんじこうしょう
意味:心の中に思っている事柄が、程度が高く上品なこと。
例:ゆえにいわく、人の心事は高尚ならざるべからず、心事高尚ならざれば働きもまた高尚なるを得ざるなり。

Ⅶ 怨望隠伏・・・えんぼういんぷく
意味:不平不満が表面化していること。
例:フランスで怨望隠伏の暴動がおこる。

Ⅷ 暗箭傷人・・・あんぜんしょうじん
意味:ひそかに人を陥れたリ、中傷したりする卑劣な行為のこと。
例:twitterの書き込みで暗箭傷人する人がいる。

Ⅸ 一簣の功・・・いっき(の)こう
意味:仕事が完成する寸前の最後の努力のこと。
例:このレポートはまだ一簣の功に欠ける。

Ⅹ 家内狼藉・・・かないろうぜき
意味:屋内が散らかって、雑然としているさま。
例:管理人の家は本で家内狼藉としている。

特別問題A~数学~

y=x+kを楕円x2+2y2=1に代入して整理するとx2+2(x+k)2=1⇔3x2+4kx+2k2-1・・・①
①式の判別式をDとすると、楕円と直線が異なる2点で交わる条件は
D/4=(2k)2-3(2k2-1)>0⇔2k2<3 ∴-√6/2<k<√6/2・・・ア
①の異なる2解をα、βとすると解と係数の関係からα+β=-4k/3、αβ=(2k2-1)/3
2つの交点の中点のx座標はx=(α+β)/2=-2k/3
中点はy=x+k上の点k=-2x/3をy=x+kに代入して、中点の軌跡は
y=-x/2・・・イ

特別問題B~数学~

(1) OH=tOC(t:実数)とおける。OH=t(1,1,0)=(t,t,0)
HPOPOH=(x-t,y-t,z) OC⊥HPよりOCHP=0
1・(x-t)+1・(y-t)+0・z=0 t=(x+y)/2
よって、OH=((x+y)/2.(x+y)/2,0)HP=((x-y)/2,(-x+y)/2,z)
(2) Lは底面がABを直径に持つ円で、頂点がOの円錐である。OC=√2、底面の半径=AB/2=√2である。
PがLの点であるための条件はOCを底とする高さ√2の直角二等辺三角形の周および内部にPがあることである。すなわち、PH≦OHtan(π/4)・・・①かつHが線分OC上にある。・・・②
①より|PH|2≦|OH|2⇔(x-y)2/4+(-x2+y2)/4+z2≦(x+y)2/4+(x+y)2/4 ∴z2≦2xy・・・③
②より0≦t≦1、0≦(x+y)/2≦1、0≦x+y≦2・・・④
③、④より題意は示せた。
(3) ③、④でx=aとするとz2≦2ayかつ0≦a+y≦2、y≧z2/2aかつ-a≦y≦2-a
y=z2/2aとy=2-aを連立してz2=2a(2-a) 1≦a≦2よりz=±√{2a(2-a)} P=√{2a(2-a)}とおくと
$S(a)=\int^P_{-P}\{(2-a)-\frac{z^2}{2a}\}dz$

$=-\frac{1}{2a}\int^P_{-P}(z+P)(z-P)dz$

$=\frac{(P+P)^2}{2a\cdot6}$

$=\frac{2P^3}{3a}$

$=\frac{4\sqrt2}{3}(2-a)\sqrt{a(2-a)}$
(4) $V=\int^2_1 S(a)da$

$=\int^2_1\frac{4\sqrt2}{3}(2-a)\sqrt{a(2-a)}da$

$=\frac{4\sqrt2}{3}\int^2_1(2-a)\sqrt{-(a-1)^2+1}da$
a-1=tとおくとda=dt、a:1→2 t:0→1
$V=\int^1_0\frac{4\sqrt2}{3}(1-t)\sqrt{1-t^2}dt$
ここで$\int^1_0 \sqrt{1-t^2}dt$は半径1の四分円の面積に等しいからπ/4であり
$\int^1_0(1-t)\sqrt{1-t^2}dt$

$=-\frac{1}{2}\int^1_0(1-t^2)(1-t^2)dt$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}[(1-t^2)^{\frac{3}{2}}]^1_0$

$=\frac{1}{3}$であるから
V=4√2/3・(π/4-1/3)=
√2(3π-4)/9

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