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2748時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 樹人

Ⅱ 渋音

Ⅲ 理国

Ⅳ 皇祖考

レベルⅡ

Ⅰ 斤斗

Ⅱ 斥罵

Ⅲ 損盈

レベルⅢ

Ⅰ 綜覈

Ⅱ 翹材客

Ⅲ 螓首

特別問題A~数学~

次の問に答えよ。

(1) 不等式4log4x≦log2(4-x)+1を解け。
(2) (1)で求めたxの範囲において関数y=9x-4・3x+10の最大値と最小値、そのときのxの値をそれぞれ求めよ。 
[新潟大]

特別問題B~数学~

実数tに対し、複素数(1/2+cost+isint)2の実部をf(t)、虚部をg(t)とする。座標平面上にC:x=f(t)、y=g(t) (0≦x≦π)がある。

(1) 0≦t≦πのときf(t)のとる値の範囲を求めよ。
(2) 曲線C上の点P(f(π/3),g(π/3))における接線の方程式を求めよ。
(3) 曲線Cのy≦0の範囲にある部分とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。 
[名古屋工業大]


2748時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 樹人・・・じゅじん
意味:人材を育て上げる。また、賢才を採用する。
例:日本は樹人することよりもただの奴隷として動く人を求む。

Ⅱ 渋音・・・じゅうおん
意味:にぶい音
例:鈍器で殴られたかのような渋音がした。

Ⅲ 理国・・・りこく
意味:国を治める。また、治まった国。
例:この世界を理国して統一する。

Ⅳ 皇祖考・・・こうこうそ
意味:死んだ祖父の敬称。

レベルⅡ

Ⅰ 斤斗・・・きんと
意味:もんどりをうつ。
例:斤斗して少年は倒れた。

Ⅱ 斥罵・・せきば
意味:ののしる。辱める。

Ⅲ 損盈・・・そんえい
意味:減ることと満ちること。
例:今年の業績は損盈が実に激しい。

レベルⅢ

Ⅰ 綜覈・・・そうかく
意味:物事を総合して詳しく事実を考えきわめる。
例:ヘイトスピーチに関して綜覈する委員会が設置された。

Ⅱ 翹材客・・・ぎょうざいかく
意味:宰相をいう。
例:一国の翹材客が何もしてくれないのであれば、自分で立候補して何とかするしかないのである。

Ⅲ 螓首・・・しんしゅ
意味:なつぜみのように、広く四角い顔。美人の美しい額のこと。また、美人。
例:るんちゃんはしばし螓首をネタにされる。

特別問題A~数学~

(1) 真数正よりx>0、4-x>0→0<x<4・・・①
この範囲で4log4x≦log2(4-x)+log22=4・log2x/log24≦log2(4-x)+log22
log2x2≦log22(4-x) ∴x2≦2(4-x) (x+4)(x-2)≦0 -4≦x≦2
①より0<x≦2・・・②
(2) y=9x-4・3x+10=(3x)2-4・3x+10 X=3xとおくと②より1<X≦9・・・③
この範囲で最大、最小を求めればいい
y=X2-4X+10=(X-2)2+6 よってX=9のとき最大値55、X=2のとき最小値5
すなわち x=2のとき最大値55x=log32のとき
最小値6

特別問題B~数学~

(1/2+cost+isint)2=(1/2+cost)2+2isint(1/2+cost)-sin2t=2cos2t+cost-3/4+isint(2cost+1)
tは実数であり、実部がf(t)、虚部がg(t)であるから
f(t)=2cos2t+cost-3/4=2(cost+1/4)2-7/8
g(t)=sint(2cost+1) (0≦t≦π)

(1) 0≦t≦πより、-1≦cost≦1であるから-7/8≦f(t)≦9/4
(2) f'(x)=4cost・(-sint)-sint=-sint(4cost+1)
g'(t)=cost(2cost+1)+sint(-2sint)=4cos2t+cost-2
点Pにおける接線の傾きはg'(π/3)=-1/2、f'(π/3)=-3√3/2より
dy/dx=g'(π/3)÷f'(π/3)=√3/9 よって接線の方程式はy=√3/9・(x-1/4)+√ 3
y=√3/9・x+35√3/36
(3) 曲線Cにおいてy≦0となるときsint(2cost+1)≦0
0≦t≦πで解くと2π/3≦t≦π このときsint≧0、-1≦cost≦-1/2より
f'(t)=-sint(4cost+1)>0 (2π/3≦t<π) またf(2π/3)=-3/4、f(π)=1/4より求める面積Sはの赤色部。
∴$S=\int^{\frac{1}{4}}_{-\frac{3}{4}}(-y)dx$

$=\int^\pi_{\frac{2}{3}\pi}\{-\sin t(2\cos t+1)\}\{-\sin t(4\cos t+1)\}dx$

$=\int^\pi_{\frac{2}{3}\pi}(8\sin^2t\cos^2t+6\sin^2t\cos t+\sin^2t)dt$

$=\int^\pi_{\frac{2}{3}\pi}(2\sin^22t+6\sin^2t\cdot(\sin t)'+\frac{1+\cos2t}{2})dt$

$=\int^\pi_{\frac{2}{3}\pi} \frac{1-\cos 4t}{2}dt+6[\frac{1}{3}\sin^3t]^\pi_{\frac{2}{3}\pi}+\frac{1}{2}[t-\frac{1}{2}\sin2t]^\pi_{\frac{2}{3}\pi}$

$=[t-\frac{1}{4}\sin4t]t^\pi_{\frac{2}{3}\pi}+6(-\frac{\sqrt 3}{8})+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt 3}{4})$

$=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt3}{4}$

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