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2736時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 自注

Ⅱ 稼政

Ⅲ 翼駆

Ⅳ 興余

レベルⅡ

Ⅰ 窃鉤

Ⅱ 素臉

Ⅲ 眷私

レベルⅢ

Ⅰ 甲坼

Ⅱ 緇磷

Ⅲ 脕顔

特別問題A~数学~

x,yは不等式0≦x≦π、0≦y≦π/2、およびcosx+cos2x=0を満たすとする。

(1) yをxの式で表せ。
(2) xy2の最大値を求めよ。 
[成蹊大]

特別問題B~数学~

nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。 
[東京大]


2736時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 自注・・・じちゅう
意味:自分の著作に自分で注を付けること。
例:この本の最終ページに自注がつけてある。

Ⅱ 稼政・・・かせい
意味:田地や田間の溝などに関する行政。
例:稼政の例としては墾田永年私財法などがある。

Ⅲ 翼駆・・・よくく
意味:鳥のように。はやくはしる。
例:彼は翼駆して退散した。

Ⅳ 興余・・・きょうよ
意味:興趣がありあまる。面白みがつきる。
例:漢字クラスタ大会の興余で酒を飲む。

レベルⅡ

Ⅰ 窃鉤・・・せっこう
意味:帯につける鍵を盗む。小盗をいう。

Ⅱ 素臉・・・そけん
意味:白い顔。
例:目が真っ赤な素臉の大絶叫を放つマインドクラッシャーを踏んでしまう。

Ⅲ 眷私・・・けんし
意味:情けをかける。愛顧すること。
例:彼は彼女が好きすぎていつも眷私をかける。

レベルⅢ

Ⅰ 甲坼・・・こうたく
意味:草木が芽を出すこと。
例:春になって切り株から甲坼する。

Ⅱ 緇磷・・・しりん
意味:黒くなることとうすくなること。世俗に汚し染められるたとえ。
例:この神社の僧は女に手を出して緇磷せしめられる。

Ⅲ 脕顔・・・べんがん
意味:麗しい顔。
例:彼女の脕顔は世界にも通用するものだった。

特別問題A~数学~

(1) cosx+cos2y=0⇔cos2y=cos(π-x)・・・①
0≦x≦π、0≦π-x≦π、0≦2y≦π・・・②
θの関数f(θ)=cosθは0≦θ≦πの範囲で単調減少だから①、②より2y=π-x
y=π/2-x/2
(2) (1)よりxy2=x{(π-x)/2}2=1/4・x(π-x)2=(x3-2πx2+π2x)/4
f(x)=(x3-2πx2+π2x)/4 (0≦x≦π)とおく。
f'(x)=(3x2-4πx+π2)/4=(3x-π)(π-x)/4
これよりの増減表が得られ、求める最大値は
π3/27

特別問題B~数学~

(1) 連続する2個の自然数をa,a+1とし、a(a+1)がn(≧2)乗数であると仮定し、a(a+1)=bn (b:自然数)・・・①とする。
aとa+1は互いに素であるからaとa+1を素因数分解すると、共通な因数はないので①よりa=cn、a+1=dn (c,d:自然数)とおける。但し1≦c≦dである。
したがって、1=(a+1)-a=dn-cn≧(c+1)2-cn≧ncn≧2 (∵n≧2)となり矛盾する。
よって、連続する2個の整数はn乗数ではない。
(2) (1)よりn≧3の場合について示せばよい。連続するn個の自然数の積がn乗数とするとa(a+1)(a+2)・・・(a+n-1)=en(a,e:自然数)とおける。
このときan<en<(a+n-1)n、∴a<e<a+n-1であるから、e∈{a+1,a+2,…,a+n-2}
そこでe=a+k(1≦k≦n-2 k:自然数)とおくと、a(a+1)・・・(a+k)・・・(a+n-1)=(a+k)2
∴a(a+1)・・・(a+k-1)(a+k+1)・・・(a+n-1)=(a+k)n-1
すなわち(a+k)n-1はa+k+1で割り切れることになるが、a+k(≧2)とa+k+1は互いに素であるから矛盾する。
よって連続するn個の自然数の積はn乗数でない。

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