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2722時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 国成

Ⅱ 宗英

Ⅲ 幣田

Ⅳ 促急

レベルⅡ

Ⅰ 寒畯

Ⅱ 呑蝕

Ⅲ 聘用

レベルⅢ

Ⅰ 鴞炙

Ⅱ 肆吻

Ⅲ 蘊礫

特別問題A~数学~

θは0°≦θ≦180°を満たす角とする。このとき、xの二次関数f(x)=x2-2(cosθ)x+sin2θについて、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の最小値が0となるような、角θを求めよ。
(2) θが45°≦θ≦150°の範囲を動くとき、放物線y=f(x)の頂点の軌跡を求めよ。 
[法政大]

特別問題B~数学~

xy平面上に円C:x2+y2=1がある。Cの外部の点P(s,t) (s≠±1)からCへ2本の直線と直線x=1との交点をQ,Rとする。次の問に答えよ。

(1) 線分QRの長さをs,tを用いて表せ。
(2) QRの長さが1であるようにPが動くとき、Pの軌跡を求め、図示せよ。 
[横浜国立大]


2722時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 国成・・・こくせい
意味:国の治平。
例:外国人労働者の受け入れは国成を破壊するという意見もある。

Ⅱ 宗英・・・そうえい
意味:一族中のすぐれた者。
例:弟は家族の中でも宗英な人物だった。

Ⅲ 幣田・・・へいでん
意味:幣帛を調進するために供された田地。
例:神棚に備えるための幣田を設ける。

Ⅳ 促急・・・そっきゅう
意味
①:厳しくせきたてる。
②:せっかち。気短。
例:早く仕事をしろと促急する。

レベルⅡ

Ⅰ 寒畯・・・かんしゅん
意味
①:田舎者。やぼったいひと。
②:身にしみる貧苦。
例:彼は寒畯を感じながらもニート生活をしている。

Ⅱ 呑蝕・・・どんしょく
意味:ほろぼしむしばむ。他をしのぐこと。
例:秦の国はどんどん呑蝕されていった。

Ⅲ 聘用・・・へいよう
意味:礼を尽くして人を取り立て用いる。
例:浅学博識の徒を聘用する。

レベルⅢ

Ⅰ 鴞炙・・・ごうしゃ
意味:贅沢な食べ物を例えていう。
例:朝飯でも鴞炙なものをいただく。

Ⅱ 肆吻・・・しふん
意味:気兼ねなくものを言うこと。
例:上司にも肆吻できる職業環境が欲しい。

Ⅲ 蘊礫・・・うんれき
意味:小石を包むこと。

特別問題A~数学~

(1) f(x)=x2-2(cosθ)x+sin2θ=(x-cosθ)2-cos2θ+sin2θ=(x-cos2θ)+1-2cosθ
f(x)の最小値が0となるとき、1-2cos2θ=0 cosθ=±1/√2 0°≦θ≦180°よりθ=45°、135°
(2) 放物線y=f(x)の頂点を(X,Y)とすると、X=cosθ、Y=1-2cos2θ
θを消去すればY=1-2X2を得る。θが45°≦θ≦150°の範囲を動くときXの取りうる値は-√3/2≦X≦√2/2である。
以上より、求める軌跡は放物線の一部 y=-2x2+1(-√3/2≦x≦√2/2)で

特別問題B~数学~

(1) 円Cの外部の点P(s,t) (s≠±1)を通り傾きがmの直線をlとする。lの方程式はy=m(x-s)+t→y=mx+t-sm→mx-y+t-sm=0
lがCに接するとき、原点Oとlの距離が1だから|t-sm|/√(m2+1)=1→(t-sm)2=m2+1 ∴(s2-1)m2-2stm+(t2-1)=0・・・①
mの2次方程式①の2解をα、βとすると、Pを通るCの2接線は
lα:y=αx+t-αs、lβ:y=βx+t-βs
Qはlαと直線x=1の交点、Rはlβと直線x=1の交点だからQ(1,α+t-αs)、R(1,β+t-βs)
∴QR=|α-β||s-1|・・・② ここで①の解と係数の関係よりα+β=2st/(s2-1)、αβ=(t2-1)/(s2-1) したがって
(α-β)2=(α+β)2-4αβ=4s2t2/(s2-1)2-4(t2-1)/(s2-1)=4{s2t2-(s2-1)(t2-1)}/(s2-1)2=4(s2+t2-1)/{(s2+1)2(s-1)2
∴|α-β|=2√(s2+t2-1)/{(s+1)(s-1)}・・・③
②、③よりQR=√(s2+t2-1)/|s+1|
(2) s≠±1のもとで、(1)の結果を用いると、QR=1より√(s2+t2-1)=|s+1|→4(s2+t2-1)=s2+2s+1→3(s-1/3)2+3t2/4=1
s=-1のときt=0、s=1のときt=±1となるので求める軌跡は次の式で表され、楕円の一部である。
9/16・(x-1/3)2+3y2/4=1、(x,y)≠(-1,0),(1,±1)

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