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2709時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 湔改

Ⅱ 玉顱

Ⅲ 礱淬

レベルⅡ

Ⅰ 菜蕗

Ⅱ 矮鹿

Ⅲ 摩納哥

レベルⅢ

Ⅰ 鳳尾松

Ⅱ 萎蕤

Ⅲ 石桂魚

FINAL

加蚋魚

特別問題A~数学~

次の問いに答えよ。

(1) 関数y=x3-6x2+9xのグラフの概形をかけ。
(2) 単位円周上の動点P(cosθ,sinθ)の位置は、時刻tにおいてθ=t3-6t2+9tで定められている。t=0からt=4までの間に点Pが定点Q(-1,0)を通過する回数を求めよ。
(3) (2)の条件の下でt=0からt=6までの間に点Pが定点Q(-1,0)を通過する回数を求めよ。 
[香川大]

特別問題B~数学~

次の空欄を埋めなさい。

α、ωは定数で、ω>0とする。媒介変数tで表されたx=2cos(ωt+π/6)、y=sin(ωt+α)について、tを消去してx,yの方程式を求める。α=2π/3のとき、求める方程式は[ア]である。また、-π/3<α<2π/3のとき、β=sin(α-π/6)とおくと、求める方程式は[イ]x2-[ウ]xy+[エ]y2=1である。 [慶応大]


2709時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 湔改・・・せんかい
意味:心を入れ替える。改心する。
例:彼は暴力団員から湔改して立派なセールスマンになった。

Ⅱ 玉顱・・・ぎょくろ
意味:天子の頭の骨。

Ⅲ 礱淬・・・ろうさい
意味:刃物を研ぐ。転じて、苦しみに堪え鍛錬するたとえ。
例:自分の漢字力を礱淬して今度の一級に励む。

レベルⅡ

Ⅰ 菜蕗・・・ふき[]
キク科の多年草。

Ⅱ 矮鹿・・・まめじか[]
マメジカ科に属する動物。

Ⅲ 摩納哥・・・モナコ[]
南ヨーロッパの地中海に臨む小国。

レベルⅢ

Ⅰ 鳳尾松・・・そてつ[]
ソテツ科の常緑低木。

Ⅱ 萎蕤・・・あまどころ[]
ユリ科の多年草。

Ⅲ 石桂魚・・・さけ[]
サケ目サケ亜目サケ科の一種。

FINAL

加蚋魚・・・たい[]
スズキ目タイ科魚類の総称。

特別問題A~数学~

(1) y=x3-6x2+9x=x(x-3)2 y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
よって関数yの増減表は。よってグラフは
(2) cosπ=-1、sinπ=0だからQ(cosπ,sinπ) 0≦t≦4の範囲で曲線θ=t3-6t2+9tと直線θ=πとの共有点は3個あるから、点P(cosθ,sinθ)が定点Qを通過する回数は3回
(3) 4≦t≦6の範囲でθは増加関数であり、4≦θ≦54
ここで17π<54<18πだからPがQと一致するときは、kを整数として
θ=(2k+1)π (1≦k≦8) よって0≦t≦6の範囲で、PがQを通過する回数は(2)を含めて3+8=
11回

特別問題B~数学~

x=2cos(ωt+π/6)・・・①、y=sin(ωt+α)・・・② 加法定理を用いると、α=2π/3のとき、①よりx=√3cosωt-sinωt・・・③
②よりy=1/2・(√3cosωt-sinωt)・・・④ ③を④に代入してy=x/2、x-2y=0
また、-π/3<α<2π/3のとき、-π/2<α-π/6<π/2であるからβ=sin(α-π/6)とおくと
y=sin(ωt+π/6+α-π/6)=sin(ωt+π/6)cos(α-π/6)+cos(ωt+π/6)sin(α-π/6)=√(1-β2)sin(ωt+π/6)+β・x/2・・・⑤
cos2(ωt+π/6)+sin2(ωt+π/6)=1より①、⑤から(x/2)2+{1/√(1-β2)・(y-βx/2)}2=1
∴x2/{4(1-β2)}-βxy/(1-β2)+y2/(1-β2)=1

答 ア:x-2y=0 イ:1/{4(1-β2)} ウ:β/(1-β2) エ:1/(1-β2)

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