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2703時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 蟷螂蝉を搏つ

Ⅱ 匠石斤を運らす

Ⅲ 凍硯を呵す

Ⅳ 東海を踏みて死す

Ⅴ 名はよき膏に勝る

Ⅵ 千荊万棘

Ⅶ 千古不磨

Ⅷ 墨守成規

Ⅸ 孤掌難鳴

Ⅹ 標槍旁排

特別問題A~数学~

△ABCの外接円の半径を1、その中心をOとする。△ABCにおいて4OA+3OB+5OC=0が成立している。

(1) 辺AC、BCの長さを求めよ。
(2) △ABCの面積を求めよ。 
[日本大]

特別問題B~数学~

aを0<a<1を満たす実数とする。座標平面内で3つの不等式
・x≦a
・y≦a
・y≦-x2+2x
の表す領域の面積をS(a)とおく。S(a)が最大となるaの値を求めよ。 
[東北大]


2703時間目模範解答

Ⅰ 蟷螂蝉を搏つ・・・とうろうせみ(を)う(つ)
意味:目の前の利益を貪って、後の災難を考えないたとえ。

Ⅱ 匠石斤を運らす・・・しょうせききん(を)めぐ(らす)
意味:技芸や奥義を極めることのたとえ。

Ⅲ 凍硯を呵す・・・とうけん(を)か(す)
意味:寒中に詩文を草する。

Ⅳ 東海を踏みて死す・・・とうかい(を)ふ(みて)し(す)
意味:無道の世の中を憤って死ぬことをいう。

Ⅴ 名はよき膏に勝る・・・な(はよき)あぶら(に)まさ(る)
意味:名声は良い栄養物より尊ぶべきである。

Ⅵ 千荊万棘・・・せんけいばんきょく
意味:非常に多くの困難があること。
例:発達障害には千荊万棘な生活だが頑張るしかない。

Ⅶ 千古不磨・・・せんこふま
意味:永久に滅びない。
例:千古不磨の掟を破る。

Ⅷ 墨守成規・・・ぼくしゅせいき
意味:古くからあるやり方を固く守って、変え改めようとしないこと。
例:保守とは墨守成規な思想ではなく漸進性がある。

Ⅸ 孤掌難鳴・・・こしょうなんめい
意味:何事をなすにも、一人ではどうしようもできないこと。
例:この大事業を成し遂げるのは到底孤掌難鳴である。

Ⅹ 標槍旁排・・・ひょうそうほうはい
意味:投げ槍と楯。

特別問題A~数学~

(1) 外接円の半径が1だから|OA|=|OB|=|OC|=1
4OA+3OB+5OC=0・・・①より4OA+5OC=-3OB→|4OA+5OC|2=|-3OB|2→16|OA|2+40OAOC+25|OC|2=9|OB|
OAOC=-4/5 同様にして①より|3OA+5OC|2=|-4OA|2
9|OB|2+30OBOC+25|OC|=16|OA|2 ∴OBOC=-3/5
したがってAC2=|AC|2=|OCOA|2=|OC|2-2OCOA+|OA|2=1-2(-4/5)+1=18/5
BC2=|BC|2=|OCOB|2=|OC|2-2OCOB+|OB|2=1-2(-3/5)+1=16/5
よってAC>0、BC>0よりAC=3√10/5、BC=4√5/5
(2) ①より|4OA+3OB|2=|-5OC|2→16|OA|2+24OAOB+9|OB|2=25|OC|2
16+24OAOB=25 OAOB=0 したがって
CACB=(OAOC)・(OBOC)=OAOBOAOCOCOB+|OC|2=0+4/5+3/5+1=12/5
よって△ABC=1/2・√{|CA|2|CB|2-(CACB)2}=1/2・√{18/5・16/5-(12/5)2}=1/2・12/5=
6/5

特別問題B~数学~

0<a<1のとき、x≦a、y≧a、y=-x2+2xの表す領域は。この面積S(a)はy=-x2+2xとy=aの交点は-x2+2x=aよりx=1±√(1-a)
①のときa>1-√(1-a)より
$S(a)=\int^a_{1-\sqrt{1-a}}(-x^2+2x-a)dx$

$=[-\frac{x^3}{3}+x^2-ax]^a_{1-\sqrt{1-a}}$

$=-\frac{a^3}{3}+\frac{2}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}}+a-\frac{2}{3}$
このときS'(a)=(1-a2)-(1-a)1/2 ①のときS'(a)=0より(1-a)1/2(1+a)=1
両辺正より平方して(1-a)(1+a)2=1→-a(a2+a-1)=0
①の範囲でこれを満たすのはa=(-1+√5)/2
したがって、①の範囲でS'(a)はこの値の前後で+から-へ変わるからこのとき最大かつ極大である。
よって、S(a)を最大にする値は
a=(-1+√5)/2

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