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2699時間目 ~漢字一文字~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 殴る

Ⅱ 泥

Ⅲ 辺り

レベルⅡ

Ⅰ 萌やし

Ⅱ 芹

Ⅲ 艮

レベルⅢ

Ⅰ 穡しむ

Ⅱ 紿く

Ⅲ 絁

Ⅳ 皥い

特別問題A~数学~

座標平面において、点A(0,3)と曲線y=√x上の点P(t,√t)との距離をLとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) L2をtの式で表せ。
(2) Lの最小値を求めよ。 
[大阪電気通信大]

特別問題B~数学~

曲線C1:y=x2/2の点P(a,a2/2)における法線と点Q(b,b2/2)における法線の交点をRとする。但し、b≠aとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで示せ。
(2) 点Pが曲線C1上を動くとき、(1)で求めた点Aを描く軌跡をC2とする。曲線C1と軌跡C2の概形を描き、C1とC2の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線C1と軌跡C2で囲まれた部分の面積を求めよ。 
[九州大]


2699時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 殴る・・・なぐ(る)
意味
①:相手を乱暴に強く打つ。
②:乱暴に物事をする。

Ⅱ 泥・・・どろ
意味:水が混じってやわらかくなった土。

Ⅲ 辺り・・・あた(り)
意味:ある地点の周囲。場所・時・人・事柄・数量などをはっきり示さずに、婉曲に言い表す語。

レベルⅡ

Ⅰ 萌やし・・・も(やし)
意味:穀類などの種子を光に当てずに発芽させたもの。

Ⅱ 芹・・・せり[]
セリ科の多年草。

Ⅲ 艮・・・うしとら
意味:丑と寅の中間の方角。北東。

レベルⅢ

Ⅰ 穡しむ・・・お(しむ)
意味:ものおしみする。ものおしみ。けち。

Ⅱ 紿く・・・あざむ(く)
意味:言葉巧みにうそを言って、相手をだます。

Ⅲ 絁・・・あしぎぬ
意味:太い糸で織った粗末な絹布。

Ⅳ 皥い・・・しろ(い)
意味:白く明らかなさま。

特別問題A~数学~

(1) A(0,3)とP(t,√t)との距離だから
L2=(t-0)2+(√t-3)2t2+t-6√t+9
(2) f(t)=t2+t-6√t+9(t>0)とおくと
f'(t)=2t+1-3/√t=(2t√t+√t-3)/√t={(√t-1)(2t+2√t+3)}/√t=(√t-1){2(√t+1/2)2+5/2}/√t
よって増減表はのようになり、f(t)はt=1のとき極小かつ最小となる。
ゆえにLの最小値は√f(1)=
√5

特別問題B~数学~

(1) y=x2/2よりy'=xであるからP(a,a2)(a≠0)における法線は
y=-1/a・(x-a)+a2/2 ∴x+ay=a2/2+a・・・①
これはa=0のときも成り立つ。同様にしてQにおける法線の方程式はx+by=b2/2+b・・・②
②-①より(b-a)y=(b3-a3)/2+(b-a)
b≠aよりy=(b2+ba+a2)/2+1
$\displaystyle \lim_{b\to a}y=\frac{3}{2}a^2+1$ このとき①より$\displaystyle \lim_{b\to a}x=-a^3$
よってA(-a3,3a2/2+1)
(2) (1)で求めたAの座標を(x,y)とすると、x=-a3 ∴a=(-x)1/3
∴y=3/2・(-x)2/3+1・・・③ これが軌跡C2の方程式だから、C2はy軸に関して対称である。そこで、x>0とすると、y'=x-1/3>0、y''=1/3・x-4/3<0
$\displaystyle \lim_{x\to+0}y'=\infty$
x=0のときy=1であるから曲線C1と軌跡C2の概形はのようになる。また、③とC1の方程式を連立して
3/2・x2/3+1=x2/2⇔x2-3x2/3-2=0 t=∛x2とおくと
t3-3t-2=0⇔(t-2)(t+1)2=0 t≧0よりt=2 x2=8 ∴x=±2√2
よって交点の座標は(±2√2,4)
(3) 求める面積をSとすると対称性より
$S=2×\int^{2\sqrt2}_0 (\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+1-{\frac{x^2}{2}})dx$

$=2×[\frac{9}{10}x^{\frac{5}{3}}+x-\frac{1}{6}x^3]^{2\sqrt2}_0$

$=2×(\frac{18\sqrt2}{5}+2\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2)$

$=2×\frac{44\sqrt2}{15}=\frac{88\sqrt2}{15}$

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