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2697時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 人物月旦

Ⅱ 流歳

Ⅲ 滋茂

Ⅳ 秋成

レベルⅡ

Ⅰ 織は当に婢に訪うべし

Ⅱ 彦聖

Ⅲ 嚇死

レベルⅢ

Ⅰ 海嶠

Ⅱ 儵爍

Ⅲ 閎衍

特別問題A~数学~

xについての方程式2x3-(3a+1)x2+2ax+b=0が異なる2つの実数解をもつときの定数a,bの条件を求めよ。 [山口大]

特別問題B~数学~

実数cに対して、行列$A=\left(\begin{array}{cc}1&-c\\c&1\end{array}\right)$で表される1次変換をTとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) xy平面上の同一直線上にない3点P,Q,RがそれぞれP',Q',R'に移るとする。三角形P'Q'R'の面積が三角形PQRの面積のk倍(k≧1)となるxの値を求めよ。
(2) 楕円E:x2/4+y2=1上の点がTによって楕円E'上の点に移るとする。楕円E'上のすべての点が楕円Eの周上または外部にあるためのxの条件を求めよ。 
[熊本大]


2697時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 人物月旦・・・じんぶつげったん
意味:人物を批評すること。人物の批評。

Ⅱ 流歳・・・りゅうさい
意味:流れて過ぎてゆく年月。

Ⅲ 滋茂・・・じも
意味:草木が盛んにしげる。

Ⅳ 秋成・・・しゅうせい
意味:穀物が秋になって成熟すること。

レベルⅡ

Ⅰ 織は当に婢に訪うべし・・・しょく(は)まさ(に)ひ(に)と(うべし)
意味:どんな物事でもそれを専門とする人が最も良く知っていること。

Ⅱ 彦聖・・・げんせい
意味:才徳のすぐれていること。また、その人。

Ⅲ 嚇死・・・かくし
意味:ひどく脅して気絶させる。

レベルⅢ

Ⅰ 海嶠・・・かいきょう
意味:海岸に近くて山の多い土地。

Ⅱ 儵爍・・・しゅくしゃく、しゅくやく
意味:稲光がすばやく走ること。

Ⅲ 閎衍・・・・こうえん
意味:ことばが多く豊かなこと

特別問題A~数学~

f(x)=2x3-(3a+1)x2+2ax+bとおくと、f'(x)=6x2-2(3a+1)x+2a=2(3x-1)(x-a)
f'(x)=0となるxはx=1/3,a よってf(1/3)=1/27・(9a+27b-1)、f(a)=-a3+a2+b
f(x)=0が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件はa≠1/3かつf(1/3)f(a)=0
ゆえにa≠1/3かる(9a+27b-1)(-a3+a2+b)=0 よって求める条件は
a≠1/3かつ(9a+27-1=0あるいはa3-a2-b=0)

特別問題B~数学~

$A=\left(\begin{array}{cc} 1&-c\\c&1\end{array}\right)=\sqrt{1+c^2}\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha &-\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{array}\right)$
(cosα=1/√(1+c2),sinα=c/√(1+c2))

(1) 1次変換Tの表す行列Aは、原点の周りの回転変換と√(1+c2)倍の掃除拡大変換の合成を表す。したがって、求める条件は(√(1+c2))2=k (k≧1)
c=±√(k-1)
(2) E:x2/4+y2=1・・・① ①上の任意の点(2cosθ,sinθ)のTによる像は$A=\left(\begin{array}{cc} 1&-c\\c&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\cosθ\\\sinθ\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cosθ-c\sinθ\\2c\cosθ+\sinθ\end{array}\right)$
これが、すべてのθに対し、Eの周上または外部にあるとき1/4・(2cosθ-csinθ)2+(2c・cosθ+sinθ)2≧1
これを展開してまとめると12csin2θ+15c2cos2θ≧-17c2 これが、すべてのθで成り立つとき
-√{(12c)2+(15c2)2}≧-17c2、(12c)2+(15c2)2≦(17c2)2
c2(64c2-144)≧0 ∴c=0または
|c|≧3/2

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