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2675時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 玉吹

Ⅱ 浮年

Ⅲ 教学は相長ず

Ⅳ 千盤

レベルⅡ

Ⅰ 平沙万里

Ⅱ 孤塞

Ⅲ 南澗

レベルⅢ

Ⅰ 轂過を炙る

Ⅱ 牡鑰

Ⅲ 幗歩揺

特別問題A~数学~

次の[ ]を埋めなさい。

ある放射性物質が一定の割合で崩壊し40日が経過した。この物質は8日経過すると量が半分になる。40日前の量は現在の量の[ア]倍である。また、現在の量の1億分の1になるのは、崩壊開始後[イ]日目である。但し、log102=0.3010とする。 [京都薬科大]

特別問題B~数学~

xyz座標平面に2点O(0,0,0)とP(5,0,0)がある。

(1) 2点A,Bが条件OA=4、AB=3を満たして動くとき、点Bの動きうる領域を式で示しなさい。
(2) 3点A,B,Cが条件OA=4、AB=3、BC=√11、CP=√11を満たして動くとき、点Bの動きうる領域の体積を求めなさい。 
[慶応大]


2675時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 玉吹・・・ぎょくすい
意味:管楽器の美称。

Ⅱ 浮年・・・ふねん
意味:過ぎ去った歳月。

Ⅲ 教学は相長ず・・・きょうがく(は)あいちょう(ず)
意味:教えることがすなわち学ぶことになり、学ぶことが教えることになる。

Ⅳ 千盤・・・せんばん
意味:山道が幾重にも曲折していること。

レベルⅡ

Ⅰ 平沙万里・・・へいさばんり
意味:砂漠が果てしなく広がっているさま。

Ⅱ 孤塞・・・こそく
意味:自分の考えをよしとして、他人の意見や忠告を受け入れないこと。

Ⅲ 南澗・・・なんかん
意味:南にある谷川。

レベルⅢ

Ⅰ 轂過を炙る・・・こくか(を)あぶ(る)
意味:知恵の尽きないたとえ。

Ⅱ 牡鑰・・・ぼくやく
意味:かんぬきとかぎ。

Ⅲ 幗歩揺・・・かくほよう
意味:婦人の髪飾り。

特別問題A~数学~

8日前は現在の量の2倍であるから40/8=5より40日前の量は、現在の量の25=32倍である。
現在の量をN0、t日後の量をMとすると条件よりN=N0(1/2)t/8とおける。
現在の量の1億分の1以下になるとき、N/N0≦1/108→(1/2)t/8≦10-8→t/8・log10(1/2)≦log1010-8→t/8・log102≦-8
t≧64/(log102)=64/0.3010=212.6…
現在より数えて213日後であり、崩壊は現在の40日前に始まっている。よって崩壊開始後253日目である。

答 ア:32 イ:253

特別問題B~数学~

(1) 点Aは点Oを中心とする半径4の球面上を動き、点BはAを中心とする半径3の球面上を動くから、点Bの動きうる領域は
(4-3)2≦x2+y2+z2≦(4+3)2 ∴1≦x2+y2+z2≦49・・・①
(2) BC=√11、CP=√11を満たして点B,Cが動くとき、点Bの動きうる領域は(1)と同様にして
0≦(x-5)2+y2+z2≦44・・・②
したがって、点Bをうごくときうる領域は①、②を同時に満たす点の集合であり、それはの赤色部分をx軸の周りに回転させて得られる立体の体積である。よって求める体積をVとすると
$V=\pi\int^3_{8-\sqrt{11}} \{44-(x-5)^2\}dx+\pi\int^7_3 (49-x^2)dx-\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot1^3$

$=\pi[44x-\frac{(x-5)^3}{3}]^3_{8-\sqrt{11}}+\pi[49x-\frac{x^3}{3}]^7_3-\frac{4}{3}\pi$

$=44\pi(-2+2\sqrt{11})-\frac{\pi}{3}(-8+88\sqrt{11})$

$=(4+\frac{176\sqrt{11}}{3})\pi$

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