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2674時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 遠物を宝とせざれば、則ち遠人格る

Ⅱ 燕朋は其の師に逆らう

Ⅲ 愛は小出しにせよ

Ⅳ 哀れみを垂る

Ⅴ 香奠の出し遅れ

Ⅵ 三綱五常

Ⅶ 三豕渉河

Ⅷ 食馬解囲

Ⅸ 分憂の寄

Ⅹ 羅綺千箱

特別問題A~数学~

定数aをa>0として、曲線C1:y=1/a・logxと曲線C2:y=eaxを考える。次の問いに答えよ。

(1) 曲線C1とC2は直線y=xに関して対称であることを示せ。
(2) 曲線C1とy=xが接するようにaの値を定めよ。
(3) aが(2)で定められた値のとき、曲線C1、C2とx軸、およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 
[大阪市立大]

特別問題B~数学~

次の問いに答えなさい。

(1) cを正の定数とする。正の実数x+y=cを満たすとき、(1+1/x)(1+1/y)の最小値をcを用いて表せ。
(2) 正の実数x,y,zがx+y+z=1を満たすとき、(1+1/x)(1+1/y)(1-4/3z)の最大値を求めよ。 
[大阪大]


2674時間目模範解答

Ⅰ 遠物を宝とせざれば、則ち遠人格る・・・えんぶつ(を)たから(とせざれば、)すなわ(ち)えんじんいた(る)
意味:貢物を要求しない人にのみ、遠人はなつく。

Ⅱ 燕朋は其の師に逆らう・・・えんぽう(は)そ(の)し(に)さか(らう)
意味:あまり良くない友と交わっていると、いつか師に逆らうようになる。

Ⅲ 愛は小出しにせよ・・・あい(は)こだ(しにせよ)
意味:あまり激しい愛は長続きしない。

Ⅳ 哀れみを垂る・・・あわ(れみを)た(る)
意味:慈悲をかける。情けをかける。

Ⅴ 香奠の出し遅れ・・・こうでん(の)だ(し)おく(れ)
意味:時機を逃して、間の悪い思いをすることのたとえ。

Ⅵ 三綱五常・・・さんこうごじょう
意味:儒教で、人として常に踏み行い、重んずべき道のこと。

Ⅶ 三豕渉河・・・さんししょうか
意味:文字・伝聞の誤りのたとえ。

Ⅷ 食馬解囲・・・しょくばかいい
意味:恩義を受けたことのある人が、恩人が危機に陥ったときに助けに行くこと。

Ⅸ 分憂の寄・・・ぶんゆう(の)き
意味:諸国の政務をつかさどった地方官である国司のこと。

Ⅹ 羅綺千箱・・・らきせんばこ
意味:無駄なぜいたくのこと。

特別問題A~数学~

(1) C2:y=eaxよりax=logy ∴x=logy/a
これはC1:y=logx/aのxとyを入れ替えたものである。
よってC1とC2は直線y=xに関して対称である。 ■
(2) y=logx/aよりy'=1/ax よって、C1の点(t,logt/a)における接線の方程式はy-logt/a=(x-t)/at
∴y=x/at-1/a これが直線y=xとなるための条件は1/at=1・・・①、-1/a+logt/a=0・・・②
②よりlogt=1 これを①に代入するとa=1/e
(3) C1とC2の対称性に注意すると、求める面積は
$2(\int^e_0 e^{\frac{x}{e}}dx-\frac{1}{2}\cdot e\cdot e)$

$=2[e\cdot e^{\frac{x}{e}}]^e_0-e^2$

$=2(e^2-e)-e^2=e^2-2e$

特別問題B~数学~

(1) (1+1/x)(1+1/y)=1+(x+y+1)/xyより1+(c+1)/xy
相加平均と相乗平均の関係より(x+y)/2≧√(xy) ∴1/xy≧(2/(x+y))2=(2/c)2
等号はx=y=c/2のとき成り立つから(1+1/x)(1+1/y)は最小値を持ち、それをcで表すと1+(c+1)(2/c)2((c+2)/c)2
(2) 正の数x,y,zがx+y+z=1を満たすとき、(1+1/x)(1+1/y)(1-4/3z)=Pとおくと(1+1/x)(1+1/y)>0、1-4/3z<0であるからP<0である。
そしてx+y=c、z=1-c(0<c<1)を満たすとき、Pの取りうる値の範囲は①よりP≦((c+2)/c)2{1-4/3(1-c))}=1/3・((c+2)/c)2・(3c+1)/(c-1)
ここでf(c)=((c+2)/c)2・(3c+1)/(c-1)とおくと
f'(c)={2(c+2)/c・-2/c2}・(3c+1)/(c-1)+{(c+2)/c}2・-4/(c-1)2=-{4(c+2)(2c+1)(2c-1)}/{c3(c-1)2}
0<c<1/2でf'(c)>0、1/2<c<1でf'(c)<0、f'(1/2)=0であるからPはc=1/2で最大となり、最大値は1/3・f(1/2)=
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