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2671時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 阿利布

Ⅱ 煥衍

Ⅲ 獷猤

レベルⅡ

Ⅰ 千薬萱草

Ⅱ 双鸞菊

Ⅲ 紫羅蘭

レベルⅢ

Ⅰ 六月柿

Ⅱ 卑酒

Ⅲ 大夫鷺

FINAL

多遅比

特別問題A~数学~

△ABCにおいて∠C=90°、AB:AC=5:4とする。辺BCの点C側の延長上にCA=CDとなる点Dをとる。辺ABの中点をEとし、点Bから直線ADに下した垂線をBFとするとき、次の各問に答えよ。

(1) EF=ECを示せ。
(2) 面積比△ABC:△CEFを求めよ。 
[宮崎大]

特別問題B~数学~

xy平面上に定点A(0,3)、直線l:(cosθ)x+(sinθ)=kおよび円C:x2+y2=2がある。但し0≦k≦√2、0≦θ<2π、3sinθ≠kとする。lとCの2交点をP,Qとし、△APQの面積をSとするとき、次の問いに答えよ。

(1) Sをk,θで表せ。
(2) kを固定し、θを動かしたときのSの最大値をf(k)とする。f(k)を求めよ。
(3) (2)で求めたf(k)を最大にするkの値を求めよ。 
[横浜国立大]


2671時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 阿利布・・・オリーブ[]
モクセイ科の常緑高木。

Ⅱ 煥衍・・・かんえん
意味:輝きあふれる。

Ⅲ 獷猤・・・こうき
意味:荒々しく勇ましい。

レベルⅡ

Ⅰ 千薬萱草・・・やぶかんぞう、わすれぐさ[]
ユリ科の多年草。

Ⅱ 双鸞菊・・・かぶとぎく[]
キンポウゲ科の多年草。

Ⅲ 紫羅蘭・・・かきつばた[]
アヤメ科の多年草。

レベルⅢ

Ⅰ 六月柿・・・トマト[]
ナス科の多年草。

Ⅱ 卑酒・・・ビール
アルコール飲料の一つ。

Ⅲ 大夫鷺・・・ごいさぎ[]
コウノトリ目サギ科の鳥。

FINAL

多遅比・・・いたどり[]
タデ科の多年草。

特別問題A~数学~

(1) ABを直径とし、点Eを中心とする円を考えると、∠ACB=90°より、点Cはこの円周上にある。
一方、∠BFA=90°より、点Fもこの円周上にある。EC,EFはともにこの円の半径となるので、EC=EF ■
(2) ∠BAC=αとおくと、EA=ECより∠ECA=αとなるので∠BEC=2α
一方、∠EBF=βとおくとEB=EFより∠EFB=βとなるので∠AEF=2β
△ABFにおいてα+β+45°=90°よりα+β=45°
したがって∠FEC=180°-2(α+β)=90° AB=5kとおくとBC=3kより△ABC=6k2
一方BE=EC=EF=5k/2となるので△CEF=25k2/8
よって△ABC:△CEF=6:25/8=
48:25

特別問題B~数学~

(1) 原点Oから線分PQに下ろした垂線の足をHとすると、Hは線分PQの中点である。
l:(cosθ)x+(sinθ)y-k=0 (0≦k<√2),0≦θ<2π,3sinθ≠k)なので点と直線の距離の公式より
OH=|-k|/√(cos2θ+sin2θ)=k
三角形POHに三平方の定理を用い、d=|3sinθ-k|/√(cos2θ+sin2θ)=2-√(2-k2)
また、A(0,3)と直線PQ=lとの距離をdとするとd=d=|3sinθ-k|/√(cos2θ+sin2θ)=|3sinθ-k|
∴S=1/2・PQ・d=|3sinθ-k|√(2-k2)
(2) kを0≦k<√2の範囲に固定し、θを0≦θ<2π(但し3sinθ≠k)の範囲で動かすと、Sはθ=3π/2のとき最大値をとる。
∴f(k)=|-3-k|√(2-k2)=(3+k)√(2-k2)
(3) g(k)={f(k)}2=(3+k)2(2-k2) (0≦k<√2)とおく。f(k)が最大となるのはg(k)が最大となるときである。
g'(k)=2(3+k)(2-k2)+(3+k)2(-2k)=-2(k+3){(k2-2)+k(k+3)}=-2(k+3)(k+2)(2k-1)
の増減表より、g(k)、すなわちf(k)を最大にするkの値は
k=1/2

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