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2650時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 臠す

Ⅱ 鹿茸

Ⅲ 斉墩果

レベルⅡ

Ⅰ 三宝鳥

Ⅱ 丙酮

Ⅲ 伏牛花

レベルⅢ

Ⅰ 右人精

Ⅱ 公合

Ⅲ 壌虫

FINAL

回回醋

特別問題A~数学~

曲線y=xe-x上の点(0,0)における接線と点(t,te-t)(t>0)における接線の交点のx座標をpとする。但し、eは自然対数の底とする。

(1) pをtの式で表せ。
(2) pの最大値を求めよ。 
[福岡大]

特別問題B~数学~

f(θ)=cos4θ-4sin2θとする。0≦θ≦3π/4におけるf(θ)の最大値および最小値を求めよ。 [京都大]


2650時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 臠す・・・みそなわ(す)
意味:「見る」の尊敬語。ご覧になる。

Ⅱ 鹿茸・・・ふくろづの
夏、新しく生え変わったばかりの鹿の若角。

Ⅲ 斉墩果・・・えごのき[]
エゴノキ科の落葉小高木。

レベルⅡ

Ⅰ 三宝鳥・・・ぶっぽうそう[]
ブッポウソウ目ブッポウソウ科の鳥。

Ⅱ 丙酮・・・アセトン[]
最も簡単なケトン。

Ⅲ 伏牛花・・・へびのぼらず[]
メギ科の落葉低木。

レベルⅢ

Ⅰ 右人精・・・まつ[]
マツ科マツ属植物の総称。

Ⅱ 公合・・・デシリットル
1メートル法の容積の単位。

Ⅲ 壌虫・・・カミキリムシ[]
甲虫目カミキリムシ科に属する昆虫。

FINAL

回回醋・・・やまうるし[]
ウルシ科の落葉高木。

特別問題A~数学~

(1) y=xe-xからy'=1・e-x+x(-e)=(1-x)e-x
点(0,0)における接線の方程式はy=x・・・①
点(t,te-t)における接線の方程式はy-te-t=(1-t)e-t(x-t)、すなわちy=(1-t)e-tx+t2e-t・・・②
①、②からyを消去してx=(1-t)e-tx+t2e-t 両辺にetをかけて整理すると(et+t-1)x=t2
t>0のときet>1よりet+t-1≠0であるからx=t2/(et+t-1)
したがってp=t2/(et+t-1)
(2) $\frac{dp}{dt}=\frac{2t\cdot(e^t+t-1)-t^2\cdot(e^t+1)}{(e^t+t-1)^2}=\frac{-t(t-2)(e^t-1)}{(e^t+t-1)^2}$
pの増減表は。ゆえにpはt=2の最大値4/(e2+1)をとる。

特別問題B~数学~

2倍角のおよび半角の公式を用いて
f(θ)=2cos22θ-1-4・(1-cosθ)/2=2cos22θ+2cos2θ-3=2(cos2θ+1/2)-7/2
0≦θ≦3π/4のとき0≦2θ≦3π/2より-1≦cosθ≦1 よってf(θ)は
cos2θ=1 θ=0のとき最大となり最大値1
cos2θ=-1/2 θ=π/3,2π/3のとき最小となり、最小値
-7/2

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