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2637時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 習わざるを伝うるか

Ⅱ 寸田尺宅

Ⅲ 主査

Ⅳ 才調

レベルⅡ

Ⅰ 払士

Ⅱ 泰山鴻毛

Ⅲ 漕運

レベルⅢ

Ⅰ 澆詭

Ⅱ 謑髁

Ⅲ 挺穟

特別問題A~数学~

直線y=ax+3が、原点を中心とする半径2の円x2+y2=4と接するとき、aの値は[ ]である。 [静岡理工科大]

特別問題B~数学~

関数f(x)=xe-xについて、以下の問いに答えよ。

(1) 全ての実数xについて、不等式f(x)≦1/eが成り立つことを証明せよ。
(2) 曲線y=f(x)と2直線x=0、x=1/eで囲まれた部分Dの面積を求めよ。
(3) (2)のDをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。 
[群馬大]


2637時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 習わざるを伝うるか・・・なら(わざるを)つた(うるか)
意味:人は知ったかぶりをしがちなものだ。

Ⅱ 寸田尺宅・・・すんでんしゃくたく
意味:少しの財産のこと。

Ⅲ 主査・・・しゅさ
意味:中心となって取り調べること。また、その人。

Ⅳ 才調・・・さいちょう
意味:才知と知恵の程度、ぐあい。

レベルⅡ

Ⅰ 払士・・・ひっし
意味:君主を助ける賢者。

Ⅱ 泰山鴻毛・・・たいざんこうもう
意味:隔たりの激しいことのたとえ。

Ⅲ 漕運・・・そううん
意味:船で物を運ぶ。水上の運送。

レベルⅢ

Ⅰ 澆詭・・・ぎょうき
意味:人情が薄くて嘘が多い事。

Ⅱ 謑髁・・・けいか
意味:不正のさま。道にはずれたさま。一説に、恥を忍ぶさま。また、不安なさま。

Ⅲ 挺穟・・・ていすい
意味:長く伸びた草の茎。

特別問題A~数学~

直線y=ax+3と原点の距離が2であるから点と直線の距離の公式を用いて
|a・0-0+3|/√{a2+(-1)2}=3/√(a2+1)=2
a2=5/4 ∴
a=±√5/2

特別問題B~数学~

(1) f(x)=xe-xのとき、f'(x)=e-x+x・(e-x)=(1-x)e-x
よってf(x)はx=1のとき最大値1/eをとるから、f(x)≦f(1)=1/eがなりたつ。 ■
(2) (1)より領域Dはの赤色部。Dの面積をSとすると
$S=(\frac{1}{e}\cdot1)-\int^1_0 xe^{-x}dx$である。
ここでyをxの多項式とすると∫ye-xdx=-(y+y'+y''+…)e-x+C・・・①が成り立つ。但し、Cは積分定数である。
これを用いると
$S=\frac{1}{e}+[(x+1)e^{-x}]^1_0$

$=\frac{1}{e}+(\frac{2}{e}-1)=\frac{3}{e}-1$
(3) 求める体積をVとし、バウムクーヘン型分割をしてVを求める。
$V=\pi\cdot1^2\cdot\frac{1}{e}-\int^1_0 2\pi x f(x)dx$

$=\frac{\pi}{e}-2\pi\int^2_0 x^2e^{-x}dx$
①を用いると。
$V=\frac{\pi}{e}+2\pi[(x^2+2x+2)e^{-x}]^1_0$

$=\frac{\pi}{e}+2\pi(\frac{5}{e}-2)=(\frac{11}{e}-4)\pi$


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