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2633時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 抜起

Ⅱ 温雅

Ⅲ 十年一剣

Ⅳ 穴見

レベルⅡ

Ⅰ 剃落

Ⅱ 弩を挽きて自ら射る

Ⅲ 具足る

レベルⅢ

Ⅰ 歓鄰

Ⅱ 樔処

Ⅲ 殫洽

特別問題A~数学~

四面体ABCDにおいてAB=BC=CA=DB=DC=2、AD=√3とし、Pを辺AD上の点とする。以下の問いに答えよ。

(1) ∠PAB=θとするとき、cosθの値を求めよ。
(2) 線分APの長さをt(0≦t≦√3)とするとき、線分BPの長さをtを求めて表せ。
(3) 三角形PBCの長さをtを用いて表せ。 
[岐阜大]

特別問題B~数学~

座標平面上の円C:x2+y2=9の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。時刻tにおいて(3cost,3sint)でCに接しているとする。

(1) 時刻t=0において点(3,0)にあったD上の点Pの時刻における座標(x(t),y(t))を求めよ。但し、0≦t≦2π/3とする。
(2) 0≦t≦2π/3の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 
[早稲田大]


2633時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 抜起・・・ばっき
意味:にわかに起こる。

Ⅱ 温雅・・・おんが
意味:穏やかで上品。やさしくて奥ゆかしい。

Ⅲ 十年一剣・・・じゅうねんいっけん
意味:長い間、武術の修練を積むこと。

Ⅳ 穴見・・・けつけん
意味:穴からのぞいてみる。見識の狭い者。

レベルⅡ

Ⅰ 剃落・・・ていらく
意味:髪やひげをそり落とす。

Ⅱ 弩を挽きて自ら射る・・・ど(を)ひ(きて)みずか(ら)い(る)
意味:自分で石弓を引いて自分を射る。自殺行為をするたとえ。

Ⅲ 具足る・・・そだ(る)
意味:十分に備わり足りる。

レベルⅢ

Ⅰ 歓鄰・・・かんりん
意味:友邦をいう。

Ⅱ 樔処・・・そうしょ
意味:巣を作って住居とする。

Ⅲ 殫洽・・・たんこう
意味:あまねくつくす。学問の広博などをいう。

特別問題A~数学~

(1) △ABDに着目する。△ABDはAB=BDの二等辺三角形であることから、cosθ=(√3/2)/2=√3/4
(2) △ABPに余弦定理を用いて、cosθ=(AB2+AP2-BP2)/(2AB・AP)=(22+t2-BP2)/(2・2・t)=√3/4
よってBP2=t2-√3t+4>0 BP>0よりBP=√(t2-√3t+4)
(3) △PBCにおいてAB=DB=AC=DC=2よりPB=PCは明らか。よって面積Sは
S=1/2・BC・√(PB2-1)=1/2・2√(t2-√3t+4)=
√(t2-√3t+3)

特別問題B~数学~

(1) 時刻tにおけるCとDの接点をT、円Dの中心をO'、円Dの自転角をθとすると、θ=3t・・・① したがって
OPOO'+O'P=(2cost,2sint)+(cos(t-θ),sin(t-θ))=(2cost,2sint)+(cos2t,-sin2t)
x(t)=2cost+cos2t、y(t)=2sint-sin2t
(2) x'(t)=-2sint-2sin2t、y'(t)=2cost-2cos2t
∴{x'(t)}2+{y'(t)}2=(-2sint-2sin2t)2+(2cost-2cos2t)2=8-8(costcos2t-sintsin2t)=8(1-cos3t)=16sin2(3t/2)
よって、点Pの描く曲線の長さは
$\int^{\frac{2}{3}\pi}_0 \sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}dt$

$=\int^{\frac{2}{3}\pi}_0 4\sin\frac{3t}{2}dt$

$=[-\frac{8}{3}\cos\frac{3t}{2}]^{\frac{2}{3}\pi}_0=\frac{16}{3}$


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