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2631時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 蝮蛇一たび手を螫せば、壮士は疾く腕を解く

Ⅱ 風を追い風をとる

Ⅲ 似合う釜の蓋

Ⅳ 先発すれば人を制す

Ⅴ 振鷺庭に充つ

Ⅵ 秦楚の道

Ⅶ 囚首喪面

Ⅷ 声明狼藉

Ⅸ 三釁三浴

Ⅹ 斬衰斉衰

特別問題A~数学~

三角形ABCは、AB=5、BC=10、AC=9である。∠Aの二等分線と∠Bの外角の二等分線の交点をPとする。次の問いに答えなさい。

(!) 辺BC上に点QをAQ∥BPとなるようにとる。このとき、BQの長さを求めなさい。
(2) AQの長さを求めなさい。
(3) 点Pから直線AB上に下ろした垂線の足をHとする。PHの長さを求めなさい。 
[ラ・サール高]

特別問題B~数学~

xy平面を水平とし、z軸を鉛直方向とする。空間のxz平面の曲線x=1/(1+z) (0≦z≦e3)(eは自然対数の底)をz軸の周りに回転してできる曲面を側面とし、平面z=0上の円x2+y2≦1を底面とする容器をQとする。容器Qに水を注いだところ、t秒後の水面は水平で、t秒後の水量V(t)と水面の半径x(t)との間にV'(t)=πx(t)/{x(t)+1}という関係がある。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 水面の高さz(t)と水面の上昇速度z'(t)の関係を求めよ。
(2) 高さz(t)はtの関数であるが、逆にtはzの関数として考えられ、dt/dz=1/(dz/dt)が成り立つ。これとz(0)=0を使って、t(z)をzの関数として表せ。
(3) 4秒後に水は容器Qからあふれ出ているかどうか調べよ。 
[滋賀医大]


2631時間目模範解答

Ⅰ 蝮蛇一たび手を螫せば、壮士は疾く腕を解く・・・ふくだひと(たび)て(を)さ(せば)、そうし(は)はや(く)うで(を)と(く)
意味:ぐずぐずしていれば、生命が危ない。大事のときには、害の他に及ぶことを憂えて、勇気をもってその本を断つのである。

Ⅱ 風を追い風をとる・・・かぜ(を)お(い)かぜ(をとる)
意味:実態がないのにことをなすたとえ。

Ⅲ 似合う釜の蓋・・・にあ(う)かま(の)ふた
意味:それぞれに相応しい相手がいること。

Ⅳ 先発すれば人を制す・・・せんぱつ(すれば)ひと(を)せい(す)
意味:物事は、先に手を下せば必ず相手に勝つ。

Ⅴ 振鷺庭に充つ・・・しんろにわ(に)み(つ)
意味:清廉潔白の賢士が朝廷に充満することのたとえ。

Ⅵ 秦楚の道・・・しんそ(の)みち
意味:遠い道のりに例える。

Ⅶ 囚首喪面・・・しゅうしゅそうめん
意味:なりふりかまわぬことのたとえ。

Ⅷ 声明狼藉・・・せいめいろうぜき
意味:評判を落として、それが回復しないこと。

Ⅸ 三釁三浴・・・さんきんさんよく
意味:相手を大切に思う心を表す語。

Ⅹ 斬衰斉衰・・・だんさいしさい
意味:喪服の種類。

特別問題A~数学~

(1) ∠BQA=∠PBQ=∠BAQよりBQ=BA よってBQ=5
(2) AからBCに垂線AKをひき、BK=xとする。52-x2=92-(10-x)2より
x=11/5、KQ=14/5、AK=√{5-(11/5)2}=6√14/5 ∴AQ=√{(14/5)2+(6√14/5)2}=2√7
(3) △PBH∽△AQK、AQ∥BPよりPH:AK=PB:AQ=BR:QR
BR:CR=AB:AC=5:9よりBR=5/(5+9)×10=25/7、QR=5-25/7=10/7
よって、PH:6√14/3=25/7:10/7 ∴
PH=3√14

特別問題B~数学~

(1) 水面の高さがzのときの体積Vは$V=\pi\int^z_0 \frac{ds}{(1+s)^2}$だから
dV/dz=π/(1+z)2 よってdV/dt=dV/dz、dz/dt=z'(t)/(1+z)2である。
一方、dV/dt=πx(t)/(1+x(t))=π/(z(t)+2)だから、z'/(1+z)2=1/(z+2)
よってz'=(1+z)2/(z+2)
(2) dt/dz=1/(dz/dt)=1/(z+1)+1/(z+1)2
∴$t=\int(\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2})dt=\log(1+z)-\frac{1}{1+z}+C$
t=0のときz=0だからC=1、よって、t=log(1+z)-1/(1+z)+1
(3) f(x)=log(1+x)-x/(1+x)とすると、f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)2>0 (x>0)よりf(x)は強い単調増加だからx>0のときf(x)>f(0)=0
ところで、log(1+e3)-1/(1+e3)+1=loge3(1+e-3)-1/{e3(1+e-3)}+1=log(1+e-3)-1/{e3(1+e-3)}+1=log(1+e-3)-e-3/(1+e-3)+4>4
dt/dz=(z+2)/(1+z)2>0 (z≧0)よりtはzの単調増加関数であり、z=e3のときt>4なのでQからあふれていない。 ■


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