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2607時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 霄壌

Ⅱ 詿違

Ⅲ 誨諭

レベルⅡ

Ⅰ 商陸

Ⅱ 商柏

Ⅲ 貝伽

レベルⅢ

Ⅰ 萊草

Ⅱ 支申仁

Ⅲ 奢侈ヶ間敷

FINAL

唐雁

特別問題A~数学(Eazy)~

aを自然数とする。xについての3次方程式x3-(1-2a)x2+(68-2a)x-68=0を考える。

(1) この方程式は、aの値によらずx=[ア]を解に持つ。
(2) この方程式の解がすべて整数となるとき、a=[イ]である。 
[明治大]

特別問題B~数学(Nomal)~

aを0<a<log2となる定数とし、曲線Cと曲線lをC:y=logx (x>0)、l:y=aによって定める。

(1) Cとlおよび直線x=1で囲まれた部分の面積をS1とするとき、S1をaで表せ。
(2) Cとlおよび直線x=2で囲まれた部分の面積をS2とするとき、S1=S2となるaの値を求めよ。
(3) S=S1+S2とするとき、Sの値が最小となるaの値を求めよ。 
[防衛大]


2607時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 霄壌・・・しょうじょう
意味:天と地。転じて、相違のはなはだしいもののたとえ。

Ⅱ 詿違・・・かいい
意味:あやまって間違ったことをすること。

Ⅲ 誨諭・・・かいゆ
意味:物事の道理などをわかるように諭すこと。

レベルⅡ

Ⅰ 商陸・・・やまごぼう[]
ヤマゴボウ科の多年草。

Ⅱ 商柏・・・あきがしわ
「潤和川」にかかる枕詞。

Ⅲ 貝伽・・・ばいてき
意味:貝独楽を打ち合って、はじき出す遊び。

レベルⅢ

Ⅰ 萊草・・・しば、しばくさ
路傍や空き地などに生えているイネ科植物などの細い草。

Ⅱ 支申仁・・・ささえもうすにん
意味:支持する人。不都合を申し出る人。

Ⅲ 奢侈ヶ間敷・・・おごりがましく
意味:身分に似合わず贅沢なこと。

FINAL

唐雁・・・がちょう[]
カモ目カモ科の鳥。

特別問題A~数学~

x3-(1-2a)x2+(68-2a)x-68=0、2ax(x-1)+(x2+68)(x-1)=0
(x-1)(x2+2ax+68)=0 したがって、aの値に関わらずx=1を解に持つ。
x2+2ax+68=0を解くとx=-a±√(a2-68)
方程式の解がすべて整数になるのはa2-68=n2となる自然数nが存在するときである。
a2-n2=68 (a+n)(a-n)=22・17
ここでa+n>a-nであるからa+n=34、a-n=2 よってa=18

答 ア:1 イ:18

特別問題B~数学~

(1) 0<a<log2・・・①のとき、y=logx・・・②、y=a・・・③の交点は②、③よりlogx=a・・・④
これを満たすxをtとおくと、x=tである。このとき①より1<t<2が成り立つ。したがってCとlと直線x=1で囲まれた面積S1は
$S_1=\int^t_1 (a-\log x)dx$

$=[ax]^t_1-\{[x\log x]^t_1-\int^t_1x\cdot\frac{1}{x}dx$

$=a(t-1)-\{t\log t-[x]^t_1\}$

$=a(t-1)-t\log t+t-1$
tは④の解よりlogt=a、t=ea・・・⑤が成り立つから
S1=a(ea-1)-aea+ea-1=ea-a-1
(2) 同様に考えて、Cとlと直線x=2で囲まれた図形の面積S2
$S_2=\int^2_t(\log x-a)dx$

$=\{[x\log x]^2_t-\int^2_t x\cdot\frac{1}{x}dx-[ax]^2_t$

$=2\log2-t\log t-[x]^2_t-a(2-t)$

$=2\log2-t\log t-(2-t)-a(2-t)$
⑤よりS2=2log2-aea-2+ea-2a+aea=ea-2a+2log2-2
したがって、S1=S2となるのはea-a-1=ea-2a+2log2-2
a=2log2-1
(3) (1),(2)の結果よりS=S1+S2=2ea-3a+2log2-3
したがってこの最小値を①の範囲で考えればよい。このときS'=2ea-3
S'=0のときa=log(3/2) 増減表は
したがって、a=log(3/2)のときSが最小となるので求めるaは
a=log(3/2)


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