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2588時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 傷天害理

Ⅱ 条対

Ⅲ 秋腸

Ⅳ 衰耗

レベルⅡ

Ⅰ 漸に杜じ萌に防ぐ

Ⅱ 牢晴

Ⅲ 殊滋

レベルⅢ

Ⅰ 呉市吹簫

Ⅱ 闘鑿

Ⅲ 駉駉

特別問題A~数学~

空欄を埋めなさい。

a,bを自然数とし、2次関数y=x2-4ax+4a2-4a+3b+9のグラフをCとする。このとき、Cは頂点の座標が([ア]a,-[イ]a-[ウ]b+[エ])の放物線である。

(1) グラフCがx軸と交わらないときa=[オ]、b=[カ]である。
(2) 2次方程式x2-4ax+4a2-4a-3b+9=0が2つの解をもつとする。その2つの解の差が2√11のとき4a+3b=[キク]である。したがって、a,bの値はa=[ケ]、b=[コ]である。
(3) グラフCをy軸方向に-3だけ平行移動し、さらにx軸に関して対称移動すると、2次関数y=-x2+8x+1のグラフになるとする。このとき、a=[サ]、b=[シ]である。 
[センター試験]

特別問題B~数学~

放物線y=-x2+2x+15の接線がx軸およびy軸と交わるとき、この接線とx軸およびy軸によって囲まれる三角形の面積の最小値を求めよ。 [東邦大]


2588時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 傷天害理・・・しょうてんがいり
意味:天の道理にそむくこと。

Ⅱ 条対・・・じょうたい
意味:箇条書きにして答える。

Ⅲ 秋腸・・・しゅうちょう
意味:秋の思い。

Ⅳ 衰耗・・・すいこう
意味:衰え勢いがなくなること。また衰え弱ること。

レベルⅡ

Ⅰ 漸に杜じ萌に防ぐ・・・ぜん(に)と(じ)ぼう(に)ふせ(ぐ)
意味:事のはじめに当たって防ぐ。

Ⅱ 牢晴・・・ろうせい
意味:空の穏やかに晴れること。

Ⅲ 殊滋・・・しゅじ
意味:すぐれたよい味わい。

レベルⅢ

Ⅰ 呉市吹簫・・・ごしすいしょう
意味:すぐれた人物が一時的に困窮し、乞食をするたとえ。

Ⅱ 闘鑿・・・とうさく
意味:鉄を地上で相打ちあう戯。

Ⅲ 駉駉・・・けいけい
意味:良馬の腹のこえ太ったさま。

特別問題A~数学~

2次関数の式を変形するとy=x2-4ax+4a-4a-3b+9=(x-2a)2-4a-3b+9となるから、この関数のグラフの座標は(2a,-4a-3b+9)

(1) グラフCは下に凸の放物線だから、x軸と交わらないとき、頂点のy座標は正である。
よって、-4a-3b+9>0 ∴4a+3b<9
a,bは自然数だからa≧1でb≧1で4a+3b≧7
よって条件を満たすのはa=1、b=1
(2) 方程式x2-4ax+4a2-4a-3b+9=0の解はx=2a±√(4a+3b-9)より2つの解の差2√(4a+3b-9)が2√11であるとき4a+3b=20
変形すると3b=4(5-a)となり、bは4の倍数だから、条件を満たす自然数a,bの値はa=2,b=4
(3) 条件より逆に移動する。y=-x2+8x+1をx軸に関して対称に移動し、y軸方向に3だけ平行移動するとグラフCと一致する。したがって、まずx軸に関して対称に移動すると、y=x2-8x-1となり、さらにy軸方向に3だけ平行移動したy=x2-8x+2がCと一致するから-4a=-8
4a2-4a-3b+9=2 ∴a=2、b=5

答 ア:2 イ:4 ウ:3 エ:9 オ:1 カ:1 キク:20 ケ:2 コ:4 サ:2 シ:5

特別問題B~数学~

y=-x2+2x+15・・・①、y'=-2x+2 よって①上の点(t,-t2+2t+15)における接線はy=-2(t-1)(x-t)-t2+2t+15
∴y=-2(t-1)x+t2+15 よって、x軸、y軸の交点はt≠1のとき((t2+15)/2(t-1),0),(0,t2+15)
ここでf(t)=(t2+15)2/(t-1)とおくと
f'(t)={4t(t2+15)(t-1)-(t2+15)}/(t-1)2=(t2+15)(3t2-4t-15)/(t-1)2=(t2+15)(3t+5)(t-3)/(t-1)2
極大値f(-5/3)=3200/27、極小値f(3)=-288
$\displaystyle \lim_{t\to1-0}f(t)=-\infty$、$\displaystyle \lim_{t\to+0}f(t)=\infty$
よってy=f(t)のグラフは。これと面積が|f(t)|/4と表されることから面積の最小値は1/4×3200/27=
800/27


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