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2582時間目 ~漢検一級~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 塞堡

Ⅱ 鹹菜

Ⅲ 香筵

Ⅳ 敦愿

Ⅴ 散舒

Ⅵ 殷憂

Ⅶ 矩誨

Ⅷ 訛闕

Ⅸ 霽朝

Ⅹ 費勁

Ⅺ 袂圜

Ⅻ 覯閔

特別問題A~数学~

次の空欄を埋めなさい。

1以上の整数nに対して定義されるanについて、a1=1とし、xy平面における曲線y=x3上の点An(an,an3)における接線をLnとする。直線Lnとx軸の交点Bn+1(an+1,0)とすると、an+1=[ア]anが成り立つ。また、y=x3と線分AnBn+1およびx軸によって囲まれる部分の面積をSとするとS1=[イ]、$\displaystyle \sum^x_{k=1}S_n$=[ウ]である。 [岩手医科大]

特別問題B~数学~

xy平面上に、円C1:x2+y2=25および点P(1,0)を通る円C2がある。C1とC2は点Q(3,4)で交わり、QにおけるC1の接線とC2の接線は垂直である。C2とx軸との交点のうちPと異なる点をRとする。次の問いに答えよ。

(1) C2の中心の座標を求めよ。
(2) Rの座標を求めよ。
(3) P,Rを通るすべての円Cについて、次が成り立ちことを示せ。
C,C1との2交点のどちらにおいても、その点におけるCの接線とC1の接線は垂直である。 
[横浜国立大]


2582時間目模範解答

Ⅰ 塞堡・・・さいほう
意味:敵の侵入を防ぐ為に設けたとりで。

Ⅱ 鹹菜・・・かんさい
意味:塩漬けにした野菜。

Ⅲ 香筵・・・こうえん
意味:聞き香の会。また、その席。

Ⅳ 敦愿・・・とんげん
意味:情が厚くてすなおなこと。

Ⅴ 散舒・・・さんじょ
意味:散らし広げること。散り広げること。

Ⅵ 殷憂・・・いんゆう
意味:深く大きな憂い。

Ⅶ 矩誨・・・くかい
意味:確かな法則を以て教える。

Ⅷ 訛闕・・・かけつ
意味:過って欠ける。また間違ったりなくなったりする。

Ⅸ 霽朝・・・せいちょう
意味:雨の晴れた朝。

Ⅹ 費勁・・・ひけい
意味:骨を折る。

Ⅺ 袂圜・・・べいえん
意味:袖の、脇下からそいで丸くしたところ。

Ⅻ 覯閔・・・こうびん
意味:うれえにあう。悲しい目に遭う。

特別問題A~数学~

y=x3、y'=3x2 曲線上の点An(an,an3)における接線Lnの方程式は
y=3an2x-2an3 これとx軸の交点がBn+1(an+1,0)であるからan+1=2an/3よりan=a1(2/3)n-1=(2/3)n-1
そしてSn
$S_n=\int^{a_n}_0 x^3 dx-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}a_n\cdot a^3_n$

$=\left[\frac{1}{4}x^4 \right]^{a_n}_0-\frac{1}{6}a_n^4=\frac{a_n^4}{12}$

$=\frac{1}{12}\{(\frac{2}{3})^{n-1}\}^4=\frac{1}{12}(\frac{16}{81})^{n-1}$
よってS1=1/12
$\displaystyle \sum^\infty_{n=1} S_n=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{1-\frac{16}{81}}=\frac{27}{260}$

ア:2/3 イ:1/12 ウ:27/260

特別問題B~数学~

(1) QにおけるC1の接線は、半径OQと垂直である。条件によりQにおいてC1の接線とC2の接線は直交しているのだからOQがC2の接線である。よってQにおけるC1の接線はC2の中心を通ることになる。
QにおけるC1の接線は3x+4y=25・・・①
他方、PQの中点は(2,2)、直線PQの傾きは2であるから線分PQの垂直二等分線は(x-2)+2(y-2)=0 x+2y=6・・・②
C2の中心は①、②の交点だから連立して解くと、(13,-7/2)
(2) C2の方程式は(x-13)2+(y+7/2)2=122+(7/2)2
ここでy=0とおくと(x-13)2-122=0→(x-1)(x-25)=0 x=1,25
x軸との交点のうち異なるものがRだからR(25,0)
(3) 円CはPRを弦とするからその垂直二等分線x=13上に中心を持つ。その中心をk(13,k)とすると、KP=√(122+k2)に等しい。
CとC1の交点の任意の一つをSとおくと、OSとKSはそれぞれC1とCの半径だからOS2=25、KS2=122+k2
また、kの座標からOK=132+k2、ゆえにOS2+KS2=OK2が成り立つので、△OSKは∠OSK=90°の直角三角形である。
したがって、OS⊥KSであり、SにおけるCの接線とC1の接線は垂直である。

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