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2574時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 逕啓者

Ⅱ 貪廉

Ⅲ 遺鏃

Ⅳ 饑倦

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 星月皎潔にして、明河天に在り

Ⅱ 春蛙秋蝉

Ⅲ 朱墨爛然

当て字・熟字訓

次の当て字・熟字訓の読みを記せ。

Ⅰ 班田

Ⅱ 胡頽子

Ⅲ 香橙

特別問題A~数学~

さいころを1000回投げるとき、1の目がちょうどk回出る確率をPkとおく。Pkが最大となるkを求めよ。 [信州大]

特別問題B~数学~

自然数nに対し、$I_n=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^n 2θ\sin^3θdθ$とする。

(1) I2の値を求めよ。
(2) xy平面上で原点Oから点P(x,y)への距離をr、x軸の正の方向と半直線OPのなす角をθとする。方程式r=sin2θ(0≦θ≦π/2)で表される曲線をy=xの周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積をVとするとき、V=3πI3+2πI2と表されることを示せ。 
[京都大]


2574時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 逕啓者・・・けいけいしゃ
意味:手紙の書き出しに用いる言葉。早速申し上げますが。の意。

Ⅱ 貪廉・・・たんれん
意味:欲が深いことと、欲がないこと。

Ⅲ 遺鏃・・・いぞく
意味:なくした矢じり。些細な損失のたとえ。

Ⅳ 饑倦・・・きけん
意味:食物に乏しく、うみつかれる。

四字熟語・諺

Ⅰ 星月皎潔にして、明河天に在り・・・せいげつこうけつ(にして)、めいかてん(に)あ(り)
意味:白く清らかな星月夜で、天の川がくっきり浮かんでいる。

Ⅱ 春蛙秋蝉・・・しゅんあしゅうぜん
意味:無用の言論。

Ⅲ 朱墨爛然・・・しゅぼくらんぜん
意味:学問や研究に専念することのたとえ。

当て字・熟字訓

Ⅰ 班田・・・あかちだ
意味:令制で、人民にわかち与えた口分田。

Ⅱ 胡頽子・・・ぐみ[植][https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%9F_(%E6%A4%8D%E7%89%A9)]
グミ科グミ属のの総称。

Ⅲ 香橙・・・くねんぼ[植][https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8D%E3%83%B3%E3%83%9C]
ミカン科の常緑小高木。

特別問題A~数学~

さいころを1000回投げるとき、1の目がちょうどk回出る確率は
Pk1000Ck(1/6)k(5/6)1000-k よってPk-11000Ck-1(1/6)k-1(5/6)1001-k
ゆえにPk/Pk-1={1000Ck(1/6)k(5/6)1000-k}÷{Pk-11000Ck-1(1/6)k-1(5/6)1001-k}→{1000Ck・1/6}÷{1000Ck-15/6}→1000!/k!(1000-k)!・{(k-1)!(1001-k)!}/1000!・1/5=(1001-k)/5k
(i) Pk/Pk-1<1とすると(1001-k)/5k<1 k>1001/6=166.83・・・
よって、k≧167のときPk-1>Pk
(ii) Pk/Pk-1>1とするとk<166/83・・・
よってk≦166のときPk-1<Pk
(i),(ii)よりP0<P1<・・・<P165<P166>P167>・・・>P1000
したがって、Pkが最大となるkの値は
k=166

特別問題B~数学~

(1) $I_2=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^2 2θ\sin^3θdθ$

$=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 (2\cos^2θ-1)^2(1-\cos^2θ)\sinθdθ$

$=\int^{\frac{1}{\sqrt2}}_1 (2t^2-1)^2(1-t^2)(-dt) (t=\cosθ)$

$=\int^1_{\frac{1}{\sqrt2}}(-4t^6+8t^4-5t^2+1)dt$

$=\left[-\frac{4}{7}t^7+\frac{8}{5}t^5-\frac{5}{3}t^2+t \right]^1_{\frac{1}{\sqrt2}}$

$=\frac{38-26\sqrt2}{105}$
(2) 方程式r=sin2θ(0≦θ≦π/2)で表される曲線はの青。そこで、始点をy=xにとったときのy≧xにある部分の曲線の極方程式は
r=sin{2(π/4+φ)}=cos2φ(0≦φ≦π/4)
φをθにしておくと、r=cos2θで図のようにX軸を直線y=x(赤)にとり、Y軸をy=-x(青)にとると
X=rcosθ=cos2θcosθ、Y=rsinθ=cos2θsinθ
したがって
$V=\int^1_0 \pi Y^2 dX$

$=\pi\int^0_{\frac{\pi}{4}}\cos^2 2θ\sin^2θ(-2\sin2θ\cosθ-\cos2θ\sinθ)dθ$

$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^22θ\sin^22θ(4\cos^2θ\sinθ+\cos2θ\sinθ)dθ$

$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos^22θ\sin^3θ\{2(1+\cos2θ)+\cos2θ\}dθ$

$=\pi \int^{\frac{\pi}{4}}_0(3\cos^22θ\sin^3θ+\cos^22θ\sin^3θ)dθ$

$=3\pi I_3+2 \pi I_2$

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