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2569時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 墻に耳あり。伏寇は側に在り

Ⅱ 箍を締める

Ⅲ 小人の過つや必ず文る

Ⅳ 粥腹も一時

Ⅴ 赤鯥元気

Ⅵ 夸父逐日

Ⅶ 家貧孝子

Ⅷ 一落千丈

Ⅸ 詞理明通

Ⅹ 蹄間三尋

特別問題A~数学~

点(3,0)を通り、円(x+3)2+y2=4と互いに外接する円Cの中心の軌跡を求めよ。

特別問題B~数学~

xyz空間の2点A(0,0,2),P(a,b,0)を通る直線をlとする。また、点(2,0,0)を中心とし、半径が√2である球面をSで表し、Sのうちz座標がz>0を満たす部分をTとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) l上に点Qがある。実数tをAQ=tAPで定めるとき、点Qをa,b,tを使って表せ。
(2) lがSと相異なる2点で交わるような実数a,bに関する条件を求め、ab平面上に図示せよ。
(3) lがTと相異なる2点で交わるような実数a,bに関する条件を求め、ab平面上に図示せよ。 
[名古屋大]


2569時間目模範解答

Ⅰ 墻に耳あり。伏寇は側に在り・・・かき(に)みみ(あり)。ふっこう(は)かたわら(に)あ(り)
意味:言動にいささかの油断もあってはいけない。

Ⅱ 箍を締める・・・たが(を)し(める)
意味:組織や人の心の緩みを直す。気持ちを引き締める。

Ⅲ 小人の過つや必ず文る・・・しょうじん(の)あやま(つや)かなら(ず)かざ(る)
意味:小人やあやまちをおかすと、それを改めようとしないで必ず弁解して取り繕うとするものだということ。

Ⅳ 粥腹も一時・・・かゆばら(も)いちじ
意味:粥でも空腹の一時しのぎにはなるということ。

Ⅴ 赤鯥元気・・・あかもとげんき
意味:から元気のことをいう。

Ⅵ 夸父逐日・・・かほちくじつ
意味:自分の力を弁えていない行為のたとえ。

Ⅶ 家貧孝子・・・かひんこうし
意味:貧しい家には孝行な子供が出るということ。

Ⅷ 一落千丈・・・いちらくせんじょう
意味:急激に落ちること。地位などが一気に下がってしまうこと。

Ⅸ 詞理明通・・・しりめいつう
意味:文章の筋道が通り、その意義が明らかなこと。

Ⅹ 蹄間三尋・・・ていかんさんじん
意味:馬の走勢の速いことをいう。

特別問題A~数学~

点(3,0)をF、円Cの中心をPとする。円(x+3)2+y2=4の半径は2であり、中心(-3,0)をF'とする。
円Cの半径はPFであるから、2円が外接するときPF'=PF+2 よってPF'-PF=2であるから点Pは2点F'(-3,0),F(3,0)を焦点とし、焦点からの距離の差が2の双曲線上にある。
その双曲線をx2/a2-y2/b2=1 (a>0,b>0)とする。
焦点の座上からa2+b2=3 焦点の距離の差から2a=2 ∴a=1、b2=8
したがって点Pは双曲線x2-y2/8=1上を動く。但しPF'>PFであるからx>0
よって求める軌跡は双曲線x2-y2/8=1のx>0の部分

特別問題B~数学~

(1) OQAO+tAP=(0,0,2)+t(a,b,-2)より点Qの座標はQ(at,bt,2-2t)
(2) Sの方程式は(x-2)2+y2+z2=2 QがS上にあるとき
(at-2)2+b2t2+(2-2t)2=2→(a2+b2+4)t2-2(2a+4)t+6=0・・・①
求める条件はtの2次方程式①が異なる2つの実数解をもつことである。
よって、実数条件より(2a+4)2-(a2+b2+4)>0→-2a2-6b2+16a-8>0→(a-4)2+3b2<12→(a-4)2/12+b2/4<1
これを図示すると。但し境界線を含まない。
(3) Qのz座標が正であるのは2-2t>0 t<1 よって①を満たす異なる実数tがt<1にちょうど2個存在すればよい。
f(t)=(a2+b2+4)t2-4(a+2)t+bとおくと、D>0かつ軸<1かつf(1)>0
∴(a-4)2/12+b2/4<1 2(a+2)/(a2+b2+4)<1 a2+b2+4-4(a+2)+b>0 整理して
(a-4)2/12+b2/4<1・・・② (a-1)2+b2>1・・・③ (a-2)2+b2>2・・・④
②と③の交点は(a,b)=(1,±1) ②と④の交点は(a,b)=(1,±1)
よって、②~④をab平面上に図示すると。但し境界線を含まない。

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