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2567時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 演漾

Ⅱ 滾沸

Ⅲ 平肆

Ⅳ 仮喘

音読み・語義訓読み

次の熟語の音読みとそれに適する訓読みを記せ。

Ⅰ 貧阨-阨しむ

Ⅱ 瘠餒-餒える

Ⅲ 渾載-渾て

当て字・熟字訓

次の当て字・熟字訓の読みを記せ。

Ⅰ 風信子

Ⅱ 箇失密

Ⅲ 金縷梅

特別問題A~数学~

次の問いに答えよ。

(1) sin5θ=16sin5θ-20sin3θ+5sinθを示せ。
(2) 半径1の円に内接する正10角形の面積を求めよ。 
[弘前大]

特別問題B~数学~

aを1<a<3を満たす実数とし、座標空間内の4点P1(1,0,1),P2(1,1,1),P3(1,0,3),Q(0,0,a)を考える。直線P1Q、P2Q、P3Qとxy平面の交点をそれぞれR1,R2,R3として三角形R1,R2,R3の面積をS(a)とする。S(a)を最小とするaとそのときのS(a)を求めよ。 [東京大]


2567時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 演漾・・・えんよう
意味:ながれただよう。

Ⅱ 滾沸・・・こんふつ
意味:水が盛んに湧き出る。

Ⅲ 平肆・・・へいし
意味:店の貨財を平らにする。商人の不正を正す意。

Ⅳ 仮喘・・・かぜん
意味:死にかけている者の息。虫の息。

音読み・語義訓読み

Ⅰ 貧阨-阨しむ・・・ひんやく-くる(しむ)
意味:貧しくて困窮する。

Ⅱ 瘠餒-餒える・・・せきだい-う(える)
意味:やせ衰える。

Ⅲ 渾載-渾て・・・こんさい-すべ(て)
意味:何もかもすべて積み載せる。

当て字・熟字訓

Ⅰ 風信子・・・ヒヤシンス[]
ユリ科の耐寒性秋植え球根草。

Ⅱ 箇失密・・・カシミール[]
インド亜大陸の北西部に位置する山岳地帯。

Ⅲ 金縷梅・・・まんさく[]
マンサク科マンサク属の落葉小高木。

特別問題A~数学~

(1) 加法定理を用いてsin5θ=sin(3θ+2θ)=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ
さらに、2倍角と3倍角の公式を用いて
sin5θ=(3sinθ-4sin3θ)(1-2sin2θ)+(4cos3θ-3cosθ)・2sinθcosθ=8sin5θ-10sin3θ+3sinθ+2sinθ(4cos2θ-3)cos2θ=8sin5θ-10sin3θ+3sinθ+2sinθ(1-4sin2θ)(1-sin2θ)=16sin5θ-20sin3θ+5sinθ ■
(2) 半径1の円に内接する正十角形の1つの三角形の中心角は36°だから求める面積をSとすると
S=10・1/2・1・1・sin36° ここで、θ=36°とおくとき5θ=180°だから、(1)の等式を用いて
sin36°=sinθは16sin5θ-20sin3θ+5sinθ=sin180°=0の1解である。
sinθ(16sin4θ-2sin2θ+5)=0 ∴sinθ=0またはsin2θ=(5±√5)/8
0<sinθ=sin36°<sin45°=1/√2より0<sin2θ<1/2 ∴sin2θ=(5-√5)/8
すなわちsinθ=√{(5-√5)/8}=√{(10-2√5)/4} よって、求める面積は
S=5sinθ=
5√(10-2√5)/4

特別問題B~数学~

1<a<3よりからOR1/a=1/(a-1)・・・①、OR2/a=√2/(a-1)・・・② OR3/a=1/(3-a)・・・③
但しORx(x=1,2,3)はその線分の長さを表すものとする。
①~③からOR1=a/(a-1)、OR2=√2a/(a-1)、OR3=a/(3-a)
したがって、S(a)=1/2・(a/(a-1)+a/(3-a))×√2a/(a-1)×sin45°=a2/{(a-1)2(3-a)} (1<a<3)
S'(a)=2a{(a-1)2(3-a)-a2{(a-1)2(3-a)}/{(a-1)4(3-a)2}=a(a-1)(a2+a-6)/{(a-1)4(3-a)}=a(a-1)(a+3)(a-2)/{(a-1)3(3-a)2}
これよりS(a)の増減表はのようになる。
よって、S(a)を最小にするaはa=2 そのときのS(a)は
S(2)=4

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