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2561時間目 ~BASIC~


次の漢字の読みを記せ。


レベルⅠ


Ⅰ 織坊


Ⅱ 断交


Ⅲ 新異


Ⅳ 西瓜舟の着いたよう


レベルⅡ


Ⅰ 寛肆


Ⅱ 昌基


Ⅲ 稜爾


レベルⅢ


Ⅰ 釜底の游魚


Ⅱ 鍾憐


Ⅲ 酇列


特別問題A~物理~


のようになめらかな斜面ABとなめらかな水平面をもった質量M[kg]の台が、水平な床の上に静止している。斜面ABと水平面BCはなめらかにつながっている。いま、水平面BCから高さがh[m]の点Aから質量m[kg]の小球を斜面に沿って静かにすべらせる。但し重力加速度の大きさを[m/s2]とし、速さは床に対する速さとする。


(1) 台が床に固定されている場合、点Aから滑り落ちた小球が点Cを通過する瞬間の速さv1[m/s]を求めよ。

(2) 台が滑らかな床の上を自由に動くことができる場合、点Aから滑り落ちた小球が点Cを通過する瞬間の小球の速さv2[m/s]と台の速さV2[m/s]を求めよ。 
[大阪市立大]


特別問題B~数学~


関数f(x)=2√xe-x (x≧0)について次の問いに答えよ。


(1) f'(a)=0、f''(b)=0を満たすa,bを求め、y=f(x)のグラフの概形を描け。但し、\[ \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}e^{-x}=0 \]は証明なしで用いてよい。

(2) k≧0のとき、$V(k)=\int^k_0 xe^{-2x}dx$をkを用いて表せ。

(3) (1)で求めたa,bに対して曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a、x=bで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。 
[筑波大]


2561時間目模範解答


レベルⅠ


Ⅰ 織坊・・・しょくぼう

意味:はたを織る部屋。


Ⅱ 断交・・・だんこう

意味:交際をやめること。特に国家間の交流を断つこと。


Ⅲ 新異・・・しんい

意味:新しくて珍しい。また、その物。


Ⅳ 西瓜舟の着いたよう・・・すいかぶね(の)つ(いたよう)

意味:坊主頭がたくさん集まった形容。


レベルⅡ


Ⅰ 寛肆・・・かんし

意味:広い。広々としている。


Ⅱ 昌基・・・しょうき

意味:基礎を立派に打ち立てる。また、その立派な基礎。


Ⅲ 稜爾・・・りょうじ

意味:寒さが身にしみるさま。


レベルⅢ


Ⅰ 釜底の游魚・・・ふてい(の)ゆうぎょ

意味:死が目前に迫っていることのたとえ。


Ⅱ 鍾憐・・・しょうれん

意味:非常にいつくしむこと。


Ⅲ 酇列・・・さんれつ

意味:集まり連なること。


特別問題A~物理~


(1) 小球について、点Aと点Cを比較して力学的エネルギーの法則より

0+mgh=1/2・mv12+0 よってv1=√(2gh) [m/s]

(2) 小球は台から垂直抗力を受けて運動している。このとき小球が点Cを通過するとき、小球、台はそれぞれ水平方向に速さv2[m/s]、V2[m/s]を持つ。運動量保存の法則より0+0=mv2+M(-V2)・・・①

小球が台を押し動かすので小球単体では力学的エネルギー保存則は成り立たない。台のエネルギーの和を考えると0+mgh+0=mv22/2+MV22/2・・・②

①式と②式よりV2を消去してmgh=mv22/2+M(mv22/M)2 ∴v2=√(2Mgh/(m+M))[m/s]

これを①式に代入してV2=m√{2gh/M(m+M)} [m/s]


特別問題B~数学~


(1) f'(x)=2・{x-1/2/2・e-x+√x・(-ex)}=(1/√x-2√x)e-x (x>0)・・・①

f''(x)=(-x-3/2/2-2・x-1/2・2)e-x+(1/√x-2√x)(-e-x)=(4x2-4x-1)e-x/(2x√x)

①よりf'(a)=0となるaは1/√a-2√a=0 ∴a=1/2

②よりf''(b)=0となるbは4b2-b-1=0 (b>0) b=(1+√2)/2

これよりf(x)の増減、凹凸はのようになり、f(1/2)=√(2/e)

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=0 \]、\[\lim_{x\to+0}f'(x)=+\infty \]

であるからグラフの概形は

(2) $V(k)=\int^k_0 xe^{-2x}dx$


$=\int x \left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)'dx$


$=\left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]^k_0+\int^k_0 \frac{e^{-2x}}{2}dx$


$=-\frac{k}{2}e^{-2k}+\left[-\frac{e^{-2x}}{4}\right]^k_0$


$=-\frac{2k+1}{4}e^{-2k}+\frac{1}{4}$

(3) 求める体積をVとすると、(1),(2)の結果より

$V=\int^b_a \pi(2\sqrt x e^{-x})^2dx$


$=4\pi\int^b_a xe^{-2x}dx$


$=4\pi \{V(b)-V(a)\}$


$=4\pi\left\{-\frac{2+\sqrt{2}}{4}e^{-1-\sqrt2}-\left(-\frac{2}{4}e^{-1}\right)\right\}$


$=\left(\frac{2}{e}-\frac{2+\sqrt2}{e^{1+\sqrt2}}\right)$

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2562時間目 ~漢検一級~

2560時間目 ~諺・四字熟語~

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