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2543時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 智は猶水のごとし、流れざるときは則ち腐る

Ⅱ 水罔き舟を行る

Ⅲ 雛一人いない

Ⅳ 愚に返る

Ⅴ 赤手を擦る

Ⅵ 三日法度

Ⅶ 天網の漏

Ⅷ 胸中の甲兵

Ⅸ 嫣然一笑

Ⅹ 粗手笨脚

特別問題A~数学~

2x2-5xy+2y2+x+4y-4=0を満たす整数の組(x,y)を答えよ。

特別問題B~数学~

x>0とし、f(x)=logx100とおく。

(1) 次の不等式を証明せよ。
100/(x+1)<f(x+1)-f(x)<100/x
(2) 実数aの整数部分(k≦a≦k+1となるk)を[a]で表す。整数[f(1)],[f(2)],[f(3)],…,[f(1000)]のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならば、log10=2.3026として計算せよ。 
[名古屋大]


2453時間目模範解答

Ⅰ 智は猶水のごとし、流れざるときは則ち腐る・・・ち(は(なおみず(のごとし、)なが(れざるときは)すなわ(ち)くさ(る)
意味:流れないと水は腐る。人間の知識も同様で、これを運用しないと働きがなくなるものである。

Ⅱ 水罔き舟を行る・・・みずな(きに)ふね(を)や(る)
意味:無理なことをあえてする。

Ⅲ 雛一人いない・・・ひよっこひとり(いない)
意味:全く人気のないことをいう。

Ⅳ 愚に返る・・・ぐ(に)かえ(る)
意味:愚かになる。馬鹿になる。

Ⅴ 赤手を擦る・・・あかで(を)す(る)
意味:武器を捨て、もみ手をして降伏の意を表す。

Ⅵ 三日法度・・・みっかはっよ
意味:実効性の薄い法律や規則を嘲笑っていう。

Ⅶ 天網の漏・・・てんもう(の)ろう
意味:天罰を免れること。また、国の法をすり抜けること。

Ⅷ 胸中の甲兵・・・きょうちゅう(の)そうこう
意味:心中に軍略があること。転じて、中心にはかりごとを持っていること。

Ⅸ 嫣然一笑・・・えんぜんいっしゅ
意味:女性の顔が極めて薄いこと。

Ⅹ 粗手笨脚・・・そしゅほんきゃく
意味:不細工な。不器用な。

特別問題A~数学~

2x2-5xy+2y2=(2x-y)(x-2y)より2x2-5xy+2y2+x+4y-4=(2x-y+p)(x-2y+q)+r・・・①として定数p,q,rの値を定める。
①の右辺は
(2x-y+p)(x-2y+q)+r=(2x-y)(x-2y)+q(2x-y)+p(x-2y)+pq+r=2x2-5xy+2y2+(p+2q)y+pq+r となる。
①の両辺の係数を比較してp+2q=1・・・②、-(2p+q)=4・・③、pq+r=4・・・④
②、③よりp=-3、q=2 これを④に代入して、r=2
これらを①代入すると2x2+5xy+2y2+x+4y-4=(2x-y-3)(x-2y+2)+2
2x2-5xy+2y2+x+4y-4=0より(2x-y-3)(x-2y+2)+2=0、(2x-y-3)(x-2y+2)=-2
x,yは整数だから2x-y-3、x-2y+2も整数である。したがって、⑤を満たすのは
(2x-y-3,x-2y+2)=(-1,2),(2,-1)(1,-2),(-2,1)
つまり(x,y)=(4/3,2/3),(13/3,11/3),(4,4),(1,1)
よってx,yは整数より
(x,y)=(4,4),(1,1)

特別問題B~数学~

(1) x>0よりf(x)=100logx、f'(x)=100/x
平均値の定理より{f(x+1)-f(x)}/(x+1-x)=f(c)となるcがx<c<x+1に存在する。
f(x+1)+f(x)=100/cだから1/(x+1)<1/c<1/xより100/(x+1)<f(x+1)-f(x)<100/xが成り立つ。
(2) 1≦x≦99のときf(x+1)-f(x)>1 すなわち[f(1)],[f(2)].…,[f(99)]の値はすべて異なる。
100≦x≦1000のとき、(1)よりf(x+1)-f(x)<1
f(100)=100log100=200log10=460,52、f(1000)=100log1000=300log10=690.78であるから
[f(100)]=460、[f(1000)]=690 f(x+1)-f(x)<1より460から690までの数はすべてあらわれる。
よって、求める個数は99+(690-460)+1=
330

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