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2536時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 生を亨ける

Ⅱ 堰かれて募る恋の情

Ⅲ 声涙倶に下る

Ⅳ 鹿を指さして馬と為す

Ⅴ 好漢は好漢を識る

Ⅵ 始末根由

Ⅶ 疾足先得

Ⅷ 粗鹵狭隘

Ⅸ 百舎重趼

Ⅹ 魚目混珠

特別問題A~数学~

定積分$\int^1_0 x \left(e^{-2x}-\frac{1}{2} \right)dx$を求めよ。
但し、eは自然対数の底である。 
[福岡教育大]

特別問題B~数学~

aは0でない実数とする。関数f(x)=(3x2-4)(x-a+1/a)の極大値と極小値の差が最小となるaの値を求めよ。 [東京大]


2536時間目模範解答

Ⅰ 生を亨ける・・・せい(を)う(ける)
意味:この世に生まれ出る。

Ⅱ 堰かれて募る恋の情・・・せ(かれて)つの(る)こい(の)じょう
意味:恋の思いは、他から邪魔されるとますます激しくなるものだということ。

Ⅲ 声涙倶に下る・・・せいるいとも(に)くだ(る)
意味:涙と共に語る。涙ながらに語る。

Ⅳ 鹿を指さして馬と為す・・・しか(を)ゆび(さして)うま(と)な(す)
意味:無理を押し通すこと。

Ⅴ 好漢は好漢を識る・・・こうかん(は)こうかん(を)し(る)
意味:立派な男子は立派な男子の価値を認める。

Ⅵ 始末根由・・・しまつこんゆう
意味:事の始末。原因。

Ⅶ 疾足先得・・・しっそくせんとく
意味:能力のすぐれた者が先に獲物を手に入れるということ。

Ⅷ 粗鹵狭隘・・・そろきょうあい
意味:粗雑で狭いさま。見識、学問内容などの狭い形容。

Ⅸ 百舎重趼・・・ひゃくしゃちょうけん
意味:困難を冒して遠路を行くこと。

Ⅹ 魚目混珠・・・ぎょもくこんしゅ
意味:偽物と本物と紛らわしいたとえ。

特別問題A~数学~

$\int^1_0 x \left(e^{-2x}-\frac{1}{2} \right)dx$

$=\left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}x^2\right]^1_0+\int^1_0 \frac{1}{2}e^{-2x}$

$=-\frac{1}{2e^x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]^1_0$

$=-\frac{3}{4e^2}$

特別問題B~数学~

f(x)=(3x2-4)(x-a+1/a)=3x3-3(a-1/a)x2-4x+4(a-1/a)
f'(x)=9x2-6(a-1/a)x-4 f'(x)=0の判別式をとると{3(a-1/a)}2+36>0
だからf'(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。いま、2つの実数解をα、βとするとf(x)の増減は図のようになるので、極大値と極小値の差は
$f(\alpha)-f(\beta)$

$=\int^\alpha_\beta f'(x)dx$

$=\int^\alpha_\beta 9(x-\alpha)(x-\beta)dx$

$=9\cdot(-\frac{1}{6})(\alpha-\beta)^3$

$=\frac{3}{2}(\beta-\alpha)^3$・・・①
ここで解と係数の関係からα+β=2/3・(a-1/a)、αβ=-4/9
∴(β-α)2=(α+β)2-4αβ=4/9・{(a-1/a)2+4}
これと①からf(α)-f(β)=4/9・{(a+1/a)2+4}≧32/9
ここで等号はa-1/a=0、すなわちa=±1のときに成り立つ。よって求めるaの値は
a=±1

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