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2528時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 責善

Ⅱ 聴請

Ⅲ 玉照

Ⅳ 人の子たるの礼、恒に言に老いを称せず

レベルⅡ

Ⅰ 杞憂

Ⅱ 奄虞

Ⅲ 遅暮の嘆

レベルⅢ

Ⅰ 屹屼

Ⅱ 叕やか

Ⅲ 啞子の夢

特別問題A~数学~

3sinθ+cosθ=3が成り立っているとき、sin2θの値を求めよ。但し、0<θ<π/2とする。 [慶応大]

特別問題B~数学~

(1) 一般角θに対してsinθ,cosθの定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義に基づき、一般角α,βに対して
・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
を証明せよ。 
[東京大]


2528時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 責善・・・せきぜん
意味:よいことを行うようにすすめる。

Ⅱ 聴請・・・ちょうせい
意味:願いを聞き入れる・

Ⅲ 玉照・・・ぎょくしょう
意味
①:かがみ。
②:人の写真の敬称。

Ⅳ 人の子たるの礼、恒に言に老いを称せず・・・ひと(の)こ(たるの)れい、つね(に)げん(に)お(いを)しょう(せず)
意味:父母の前では決して年寄りという言葉は使うべきではない。

レベルⅡ

Ⅰ 杞憂・・・きゆう
意味:将来のことについてあれこれと無用の心配をすること。

Ⅱ 奄虞・・・えんぐ
意味:大いに楽しむ。

Ⅲ 遅暮の嘆・・・ちぼ(の)たん
意味:次第に年をとっていくわが身を嘆くこと。

レベルⅢ

Ⅰ 屹屼・・・きつこつ
意味:はげ山の高い様子。

Ⅱ 叕やか・・・すみ(やか)
意味:速いさま。時間をおかないさま。

Ⅲ 啞子の夢・・・あし(の)ゆめ
意味:自分ではよく知っているが言い表し得ないことのたとえ。

特別問題A~数学~

3sinθ+cosθ=3からcosθ=3(1-sinθ
これをsin2θ+cos2θ=1に代入して整理すると、5sin2θ-9sinθ+4=0
(sinθ-1)(5sinθ-4)=0 0<θ<π/2よりsinθ=4/5
また、0<cosθ<1より、sin2θ=2sinθcosθ=2・4/5・√{1-(4/5)2}=
24/25

特別問題B~数学~

(1) xy平面上、原点Oを中心とする半径r(r>0)の円Cとx軸のx>0の部分Oxを、正の向きに角θだけ回転した動径OXの交点をP(x,y)とおくと、xとyはrとθのだけの関数になる。
実際rとは別にr'に対し、半径r'の円C'との交点をP'(x',y')とおくと、y/r=y'/r'、x/r=x'/r'が成り立つから、これらをそれぞれsinθ、cosθと定義する。
(2) 上の定義よりsin(θ+2π)=sinθ、cos(θ+2π)=cosθであることとsin(-θ)=-sinθ、cos(-θ)=cosθ・・・①であることは明らかなので必要に応じて0≦α<2π、0≦β<2πに限定しても一般性を失わない。
単位円x2+y2=1上の点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)をとると、OAOBのなす角∠AOBの余弦はcos(α-β)と表される。
したがって、余弦定理から
AB2=OA2+OB2-2OA・OBcos(α-β)=1+1-2cos(α-β)=2(1-cos(α-β))・・・②である。
他方、2点間の距離の公式からAB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2(1-(cosαcosβ+sinαsinβ))・・・③
②、③よりcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ・・・④が成り立つ。
④においてβを-βに置き換えてcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβが得られる。
また、④においてαをπ/2-αに置き換えると
cos(π/2-α-β)=cos(π/2-α)cosβ+sin(π/2-α)sinβが得られる。ここでx軸(x>0)が角θだけ回転した動径OXと角π/2-θだけ回転した動径が直線y=xに対称であることに留意すれば
cos(π/2-θ)=sinθ、sin(π/2-θ)=cosθが成り立つので上式はこの関係によりsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβが成り立つ。 ■

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