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2527時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 擡柴夫

Ⅱ 担笈

Ⅲ 甲櫃

Ⅳ 淪飄

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 水母の骨にあう

Ⅱ 刎頸の交わり

Ⅲ 蜂準長目

類義語

次の熟語の類義語を下の「 」から選び漢字で記せ。

Ⅰ 医術

Ⅱ 梧右

Ⅲ 等倫

「せいか・せいはい・とうけい・とうこう・らんしょう」

特別問題A~数学~

a5-12a4-36a3-81a+1、a2-6aがともに有理数となるような無理数aを求めよ。 [防衛医大]

特別問題B~数学~

2点O(0,0),A(0,2)を直径とする円周からOを除いた部分を点Qが動く。点Aを通りx軸と平行な直線と直線OQの交点をRとする。点Qを通りx軸と平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点をPとする。点Pの軌跡をCとする。

(1) Cの方程式を求めよ。
(2) 正の実数aに対して、Cとxと2直線x=a、x=-aによって囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。このとき、$\displaystyle \lim_{a\to\infty}V(a)$ を求めよ。 
[千葉大]


2527時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 擡柴夫・・・たいさいふ
意味:薪を運ぶ人。

Ⅱ 担笈・・・たんきゅう
意味:本箱をになう。遊学すること。

Ⅲ 甲櫃・・・こうき
意味:鎧を入れる櫃。

Ⅳ 淪飄・・・りんぴょう
意味:零落れて進まないこと。

四字熟語・諺

Ⅰ 水母の骨にあう・・・くらげ(の)ほね(にあう)
意味:めったにない幸運にあうたとえ。

Ⅱ 刎頸の交わり・・・ふんけい(の)まじ(わり)
意味:心を許しあったきわめて親密な交際。

Ⅲ 蜂準長目・・・ほうせつちょうもく
意味:賢くて抜け目のない人相のこと。

類義語

Ⅰ 刀圭
意味:病気や傷を診察、治療する技術。

Ⅱ 砌下
意味:手紙の宛名に添えて書く脇付けの語。

Ⅲ 儕輩
意味:同じ仲間。同じ程度の仲間。

特別問題A~数学~

a5-12a4-36a3-81a+1=a{(a2)2-2・6a・a2+(6a)2}-81a+1=a{(a2-6a)2-81}+1・・・①
rを有理数として、a2-6a=rとおくと、(a2-6a)2-81=r2-81
この式は有理数で①の式も有理数であり、aは無理数であるからr2-81=0 r=±9
r=-9のとき、a2-6a+9=0 a=3となり不適。
r=9のとき、a2-6a-9=0 よってa=3±√18=
3±3√2

特別問題B~数学~

(1) 2点O(0,0),A(0,2)を直径とする円の方程式はx2+(y-1)2=1・・・①
点Qは①上のOを除いた部分を動くから、その座標を(s,t)とおくと、s2+(t-1)2=1 (t≠0)・・・②
点Rは直線OQ上にあるから、その座標は実数kを用いて(ks,kt)と表すことができる。点Rは直線y=2上にもあるからkt=2 t≠0よりk=2/t よって点Rの座標はR(2s/t,2)
点Pは、点Qを通りx軸と平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点だから、点Pの座標はP(2s/t,t)
点Pの軌跡Cの方程式を求める方x=2s/t、y=tとおくと
t=y、s=xy/2 これを②に代入してx2y2/4+(y-1)2=1(y≠0)
x2y2+4(y-1)2=4、x2y2+4y2-8y=0、y(x2y+4y‐8)=0
y≠0よりx2y+4y-8=0、(x2+4)y=8 ∴y=8/(x2+4)
(2) 正の実数aに対しての赤色部をx軸の周りに1回転してできる立体の体積がV(a)である。Cはy軸に関して対称であるから
$V(a)=2\pi\int^a_0 \left(\frac{8}{x^2+4}\right)dx$
x=2tanθとおくと、dx=2/cos2θ x:0→a、θ:0→α 但し、a=2tanαであり
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}α=\frac{\pi}{2}$
である。また、1/(tan2θ+1)=cos2θだから
$V(a)=2\pi\int^a_0 \left(\frac{8}{4tan^2θ+4}\right)^2 \cdot\frac{1}{cos^2θ}dθ$

$=16\pi\int^a_0 \left(\frac{1}{tan^2θ+1}\right)^2 \cdot\frac{1}{cos^2θ}dθ$

$=16\pi\int^α_0\frac{cos^4θ}{cos^2θ}dθ$

$=16\pi\int^α_0 cos^2θdθ$

$=16\pi\int^α_0 \frac{1+cos2θ}{2}dθ$

$=16\pi \left[\frac{θ}{2}+\frac{1}{4}sin2θ \right]^α_0$

$=4\pi[2θ+sin2θ]^α_0$

$=4\pi(2α+sin2α)$
ここで
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}α=\frac{\pi}{2}$
より
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}2α=\pi$

$\displaystyle \lim_{a\to\infty}sin2α=0$
よって
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}V(a)=4\pi \cdot \pi=4\pi^2$

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