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2520時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 藻思

Ⅱ 績文

Ⅲ 京師

Ⅳ 内界の財貨

レベルⅡ

Ⅰ 這回

Ⅱ 結撰

Ⅲ 性行淑均

レベルⅢ

Ⅰ 結廬

Ⅱ 窶小

Ⅲ 窺釁

特別問題A~数学~

2つの放物線y=-x2、y=x2-2x+5の共有接線の方程式を求めよ。

特別問題B~数学~

座標平面上の放物線y=x2に点(a,b) (但しb<a2)から異なる2本の接線を引き、放物線との接点をそれぞれQ(q,q2),R(r,r2)(但しq<r)とする。

(1) 2本の接線の方程式をa,bを用いて表せ。
(2) ∠PQR=45°を満たす点Pの軌跡を求めて図示せよ。 
[東京海洋大]


2520時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 藻思・・・そうし
意味:詩文を作る才能。文才。

Ⅱ 績文・・・せきぶん
意味:文章を作る。

Ⅲ 京師・・・けいし
意味:みやこ。帝都。

Ⅳ 内界の財貨・・・ないかい(の)ざいか
意味:知識や芸能のように人の心の中に存在する無形の財産。

レベルⅡ

Ⅰ 這回・・・しゃかい
意味:このたび。今回。

Ⅱ 結撰・・・けっせん
意味:文章を作ること。

Ⅲ 性行淑均・・・せいこうしゅくきん
意味:性質や行為が善良で偏っていないさま。

レベルⅢ

Ⅰ 結廬・・・けつろ
意味:いおりを構えること。

Ⅱ 窶小・・・くしょう
意味:礼儀がなく、器量の小さいこと。

Ⅲ 窺釁・・・ききん
意味:すきをうかがう。

特別問題A~数学~

y=-x2に対してy'=-2x、よって放物線y=-x2上の点(a,-a2)における接線の方程式は
y-(-a2)=-2a(x-a)、すなわちy=-2ax+a2・・・① この直線が放物線y=x2-2x+5にも接するための条件は、2次方程式x2-2x+5=-2ax+a2、すなわちx2+2(a-1)x-a2+5=0・・・②が重解を持つことである。②の判別式をDとすると
D/4=(a-1)2-1・(-a+5)=2a2-2a-4=2(a+1)(a-2)
D=0からa=-1,2 この値を①に代入して求める共通接線の方程式は
y=2x+1、y=-4x+4

特別問題B~数学~

(1) y=x2よりy'=2xだからQ(q,q2)とR(r,r2)における接線は
y=2q(x-q)+q2・・・① y=2r(x-r)+r2・・・②
①、②の交点は②-①より2(r-q)x-(r2-q2)=0
r-q>0よりx=(r+q)/2、y=qr
これがP(a,b)よりq+r=2a、qr=b・・・③ よってq,rはx2-2ax+b=0の2つの解となり、a2-b>0のとき、この解はx=a±√(a2-b2)
よって2本の接線はy=2(a±√(a2-b2))x-(a±√(a2-b2))
(2) ∠PQR=45°のときPQPR=|PQ||PR|cos45°・・・④
ここで③よりPQ=(q-a,q2-b)=((q-r)/2,q2-qr)=(r-q)/2・(-1,-2q)
PR=(r-a,r2-b)=((r-q)/2,r2-qr)=(r-q)/2・(1,2r)
④に代入するとr-q>0より(r-q)2/4・(-1-4qr)=(r-q)2/4・√{(1+4q2)(1+4r2)}・1/√2‐√2(1+4qr)√{1-4{(q+r)2-qr}+16q2}
③より-√2(1+4b)=√{1+4{(2a)2-2b}+16b2}
b<-1/4のとき両辺を平方すると2(4b+1)2=1+16a2-8b+16b2
16a2-16b-24b=1、16a2-16(b+3/4)2=-8
a2/(1/√2)2-(b+3/4)2/(1/√2)2=-1 (b<-1/4) よってのような双曲線になる。

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