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2504時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 燥涸

Ⅱ 津邏

Ⅲ 粃の先走り

Ⅳ 深厲浅掲

レベルⅡ

Ⅰ 擯卻

Ⅱ 峭蒨

Ⅲ 射韝

レベルⅢ

Ⅰ 香椿

Ⅱ 大虫杖

Ⅲ 粘魚鬚

特別問題A~数学~

放物線y=2x2+3x-2をx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動すると、2点(1,0),(2,1)を通る。このとき、a,bの値を求めよ。 [北海道薬科大]

特別問題B~数学~

曲線y=x3-xの接点で点(a,b)が通るものがちょうど2本存在する。

(1) a,bの満たすべき条件を求めよ。
(2) その2本の接線が直交するときのa,bの値を求めよ。 
[一橋大]


2504時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 燥涸・・・そうこ
意味:かわきかれる。

Ⅱ 津邏・・・しんら
意味:渡し場を見回る役人。

Ⅲ 粃の先走り・・・しいら(の)さきばし(り)
意味:人に先立って騒ぎ出す無分別な者に例える。

Ⅳ 深厲浅掲・・・しんれいせんけい
意味:その場の状況に応じて適切な処理をすること。

レベルⅡ

Ⅰ 擯卻・・・ひんきゃく
意味:しりぞけてのけものにする。

Ⅱ 峭蒨・・・しょうせん
意味:鮮やかなさま。また、高くそびえるさま。

Ⅲ 射韝・・・しゃこう
意味:弓を射るとき左ひじにつけるもの。

レベルⅢ

Ⅰ 香椿・・・チャンチン[]
センダン科の落葉高木。

Ⅱ 大虫杖・・・いたどり[]
タデ科の多年草。

Ⅲ 粘魚鬚・・・やまがしゅう[]
ユリ科の落葉藤本。

特別問題A~数学~

y=2x2+3x-2=2(x+3/4)2-25/8 よって放物線y=2x2+3x-2の頂点の座標は(-3/4,-25/8)
放物線y=2x2+3x-2を平行移動した放物線の方程式を実数p,qを用いてy=2x2+px+qとすると
y=2x2+px+qが点(1,0),(2,1)を通るから0=2・12+p+q、1=2・22+2p+q すなわちp+q=-2、2p+q=-7
これを解いてp=-5、q=3 よって放物線y=2x2+px+qの方程式はy=2x2-5x+3=2(x-5/4)2-1/8
ゆえに放物線y=2x2-5x+3の頂点の座標は(5/4,-1/8)
したがって、a,bの値はa=5/4-(-3/4)=2、b=-1/8-(-25/8)=
3

特別問題B~数学~

(1) y=x3-x・・・①、y'=3x2-1
曲線①上の点(t,t3-t)における接線の方程式はy-(t3-t)=(3t2-1)(x-t) ∴y=(3t2-1)x-2t3
これが点(a,b)を通るには(3t2-1)a-2t3=b ∴2t3-3at2+a+b=0・・・②
いま、f(t)=2t3-3at2+a+bとおくと、f'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
①の接線で点(a,b)を通るものがちょうど2本存在する、すなわち②が異なる2つの実数解をもつ条件は、f(t)の極値が0となることだからf(0)=0またはf(a)=0 (a≠0)
f(0)=0だからa+b=0 f(a)=0から-a3+a+b=0
よって条件はb=-aまたはb=a3-a (a≠0)
(2) (i) b=-aのとき、②はt2(2t-3a)=0 t=0,3a/2
したがって、2接線の直交条件は-1・(3・9a2/4-1)=-1 a2=8/27
∴a=±2√6/9
(ii) b=a3-aのとき②は2t3-3at2+a3=0 (t-a)2(2t+a)=0
∴t=a,-a/2 同様に(3a2-1)(3a2/4-1)=-1 ∴9a4-15a2+8=0
これを満たす実数aの値はない。よって、(i),(ii)から
(a,b)=(±2√6/9,∓2√6/9)

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