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2503時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 蝮鷙

Ⅱ 膺門

Ⅲ 苟免

Ⅳ 静愨

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 杵を漂わす

Ⅱ 橘裏に山川を峙つ

Ⅲ 敲氷求火

類義語

次の熟語の類義語を下の「 」から選び漢字で記せ。

Ⅰ 朗報

Ⅱ 恩眷

Ⅲ 鹿砦

「がいさい・さかもぎ・きっそう・ひいき・へんぱ」

特別問題A~数学~

次の2次曲線と直線は共有点を持つか。共有点を持つ場合には、その点の座標を求めよ。

(1) 4x2+9y2=36、2x+3y=6
(2) 9x2-4y2=36、2x-y=1

特別問題B~数学~

以下の問いに答えよ。

(1) θを0≦θ<2πを満たす実数、iを虚数単位とし、zをcosθ+isinθで表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。
cosnθ=1/2・(zn+1/zn)、sinnθ=-i/2・(zn-1/zn)
(2) 次の方程式を満たす実数x(0≦x<2π)を求めよ。
cosx+cos2x-cos3x=1
(3) 次の式を証明せよ。
sin220°+sin240°+sin260°+sin280°=9/4 
[九州大]


2503時間目模範解答

Ⅰ 蝮鷙・・・ふくし
意味:まむしと猛鳥。転じて、残酷なたとえ。

Ⅱ 膺門・・・ようもん
意味:
①:馬の胸をいう。
②:立身出世の関門。登竜門。

Ⅲ 苟免・・・こうめん
意味:一時逃れをする。ただ逃げればよいという態度を取る。

Ⅳ 静愨・・・せいかく
意味:物静かで慎み深いこと。

四字熟語・諺

Ⅰ 杵を漂わす・・・きね(を)ただ(よわす)
意味:盾を流すほどの流血。激戦のさまをいう。

Ⅱ 橘裏に山川を峙つ・・・きつり(に)さんせん(を)そばだ(つ)
意味:自分の趣味にとじこもるたとえ。

Ⅲ 敲氷求火・・・こうひょうきゅうか
意味:方法を誤ったり見当違いのことをしても目的は達せられないたとえ。

類義語

Ⅰ 吉左右
意味:良い知らせ。

Ⅱ 贔屓
意味:気に入った人を特に引き立てること。

Ⅲ 逆茂木
意味:敵の侵入を防ぐため、先のとがった竹や枝のある木を外に向けて並べたもの。

特別問題A~数学~

(1) 4x2+9y2=36・・・①、2x+3y=6・・・②とする。②から3y=2(3-y)
③を①に代入すると4x2+22(3-x)2=36
整理するとx2-3x=0 ゆえにx=0.3
③からx=0のときy=2、x=3のときy=0
したがって、2つの共有点(0,2),(3,0)を持つ。
(2) 9x2-4y2=36・・・①、2x-y=1・・・②とする。②からy=2x-1・・・③
③を①に代入して9x2-4(2x-1)2=36 7x2-16x+40=0
この2次方程式の判別式をDとすると、D/4=(-8)^2-7・40=-216<0
したがって、共有点を持たない。

特別問題B~数学~

(1) z=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)・・・① ①とド・モアブルの定理より
zn=cosnθ+isinθ・・・②、1/zn=cosnθ-isinnθ・・・③
②+③よりcosnθ=1/2・(zn+1/zn)、②-③より1/2i・(zn-1/zn)=-i/2・(zn-1/zn)
よって、題意の等式は成立した。
(2) cosx+cos2x-cos3x=1 (0≦x<2π)・・・④
④⇔cosx+2cos2x-1-(4cos3x-3cosx)=1⇔4cos3x-2cos2x-4cosx+2=0⇔2(2cosx-1)(cosx-1)(cosx+1)=0
∴cosx=1/2,1,-1 よって0≦x<2πよりx=π/3,5π/3,0,π
(3) θ=20°とおくと
sin220°+sin240°+sin260°+sin280°=sin2θ+sin22θ+sin23θ+sin24θ=(1-cos2θ)/2+(1-cos4θ)/2+(1-cos6θ)/2+1-cos8θ)/2=2-1/2・(cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ)=2-1/2・(2cos3θcosθ+2cos7θcosθ)=2-(1/2・cosθ+cos7θcosθ)=2-1/2・cosθ-1/2・(cos8θ+cos6θ)=2-1/2・cosθ-1/2・cos(180°-θ)+1/4=9/4-1/2・cosθ+1/2・cosθ=9/4
よって、題意の等式は示された。

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