2500時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 麦魚

Ⅱ 松江魚

Ⅲ 情夫

レベルⅡ

Ⅰ 大理花

Ⅱ 麺木

Ⅲ 了哥

レベルⅢ

Ⅰ 牙歯草

Ⅱ 丁斑

Ⅲ 三碘甲烷

FINAL

丹田霖雨

特別問題A~数学~

次の問いに答えよ。

(1) x>0のとき不等式ex>1+x+x2/2を証明せよ。
(2) (1)の結果を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac {x}{e^x}=0$を証明せよ。

特別問題B~数学~

kを実数とし、座標平面上で2つの放物線C,Dの共通接線について考える。
C:y=x2+k D:x=y2+k

(1) 直線y=ax+bが共通接線であるとき、aを用いてkとbを表せ。但しa≠1とする。
(2) 傾きが2の共通接線が存在するようにkの値を定める。このとき、共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きとy切片を求めよ。 
[東京大]


2500時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 麦魚・・・めだか[]
メダカ目メダカ科の淡水魚。

Ⅱ 松江魚・・・すずき[]
スズキ目スズキ科に属する海水魚。

Ⅲ 情夫・・・いろ
意味:情事の相手。愛人。

レベルⅡ

Ⅰ 大理花・・・ダリア[]
キク科の多年草。

Ⅱ 麺木・・・たがやさん[]
マメ科の落葉高木。

Ⅲ 了哥・・・きゅうかんちょう[]
スズメ目ムクドリ科の鳥。

レベルⅢ

Ⅰ 牙歯草・・・ひるむしろ[]
ヒルムシロ科の水生多年草。

Ⅱ 丁斑・・・めだか
レベルⅠのⅠに同じ。

Ⅲ 三碘甲烷・・・ヨードホルム[]
エチルアルコールやアセトンにヨウ素と水酸化ナトリウムを加えて熱すると生じる結晶。

FINAL

丹田霖雨・・・くこ[]
ナス科の落葉小低木。

特別問題A~数学~

(1) f(x)=ex-(1+x+x2/2)とおく。
f'(x)=ex-1-x、f''(x)=ex-1
x>0よりf''(x)>0よりx≧0でf'(x)は単調増加である。
f'(0)=e0-1-0=0よりx>0でf'(x)>0・・・①
さらに①より、x≧0でf(x)は単調増加である。
f(0)=e0-(1+0+0/2)=0よりx>0でf(x)>0
よって、x>0のときex>1+x+x2/2が成り立つ。 ■
(2) (1)よりex>1+x+x2/2>x2/2(x>0) つまりex>x2/2
この不等式をxで割るとex/x>x/2>0より0<x/ex<2/x
よって$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac {2}{x}=0$より$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac {x}{e^x}=0$となり、与式は成り立つ。

特別問題B~数学~

(1) C:y=x2+k・・① D:x=y2+k・・・②
C上の点(t,t2+k)(t≠0)におけるCの接線の傾きは2tであり、これがaに等しい時t=a/2 (a≠0)
このとき接線の方程式はy=ax-a2/4+k・・・③ ②、③を連立してxを消去すると
(y+a2/4-k)/a=y2+k⇔ay2-y+k(a+1)-a2/4=0
③が②に接する条件より
(-1)2-4a{k(a+1)-a2/4}=0⇔4a(a+1)k-(a2+1)=0⇔(a+1){4ak-(a2-a+1)}・・・④
a≠1よりk=(a2-a+1)/4a・・・⑤ このとき③よりb=-a2/4+k=-(a-1)(a2+1)/4a
(2) a=2のとき⑤よりk=3/8で、このとき
④⇔(a+1){3a/2-(a2-a+1)}=0⇔(a+1)(a-2)(2a-1)
∴a=-1,2,1/2
よって接線は3本存在し、それらの傾き(=a)とy切片(=b)はb=-a2/4+kより
(a,b)=(-1,1/8),(2,-5/8),(1/2,5/16)

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