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2488時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 騒人

Ⅱ 間者

Ⅲ 兼治

Ⅳ 士は己を知る者の為に死す

レベルⅡ

Ⅰ 衆酔独醒

Ⅱ 財鹵

Ⅲ 良庖

レベルⅢ

Ⅰ 辟廱

Ⅱ 閫外多事

Ⅲ 緇叟

特別問題A~数学~

2次方程式x2+ax+a-2=0(aは定数)について以下の各問いに答えなさい。

(1) この方程式が常に2つの異なる実数解をもつことを示しなさい。
(2) この方程式の2つの異なる実数解をα、β(α<β)とする。α2+β2が最小となるようなaの値を求めなさい。
(3) aが(2)で求めた値のとき、β-αの値を求めなさい。 
[高崎経済大]

特別問題B~数学~

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円S1と点Aを中心とする半径1の円S2がある。円S2は円S1に外接しながら、滑ることなく円S1の周りを反時計回りに一周する。点Aの出発点は(2,0)であり、円S2上の点でこのとき(1,0)に位置している点をPとする。点Aが(2,0)から出発し、(2,0)に戻ってくるとき、点Pの描く曲線をCとすると、のようになる。また、動径OAとxの正の部分と為す角がθ(0≦θ≦2π)であるときの点Pの座標を(x(θ),y(θ))とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) x(θ)、y(θ)をθを用いて表せ。
(2) 曲線Cがx軸に関して対称であることを証明せよ。
(3) 曲線Cと円S1によって囲まれた部分の面積を求めよ。 
[長崎大]


2488時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 騒人・・・そうじん
意味:詩文をよくする人。文人。また、心に憂いを抱く人。

Ⅱ 間者・・・かんじゃ
意味:敵方の様子を探る者。スパイ。

Ⅲ 兼治・・・けんち
意味:国などを二つ以上兼ね治めること。

Ⅳ 士は己を知る者の為に死す・・・し(は)おのれ(を)し(る)もの(の)ため(に)し(す)
意味:男子は自分の価値を知って待遇してくれる人のために、命を投げ出す。

レベルⅡ

Ⅰ 衆酔独醒・・・しゅうすいどくせい
意味:世の中はみな汚れており、自分一人が清く生きていること。

Ⅱ 財鹵・・・ざいろ
意味:かねやたから。財貨。

Ⅲ 良庖・・・りょうほう
意味:よい料理人。上手な料理人。

レベルⅢ

Ⅰ 辟廱・・・へきよう
意味:上代、天子が設けた学校。

Ⅱ 閫外多事・・・こんがいたじ
意味:軍事上の職務が多忙なこと。

Ⅲ 緇叟・・・しそう
意味:年寄りの僧。老僧。

特別問題A~数学~

(1) 判別式D=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0
よって与えられた方程式は、2つの異なる実数解をもつ。 ■
(2) 2つの実数解α、βは解と係数の関係よりα+β=-a、αβ=a-2
よってα2+β2=(α+β)2-2αβ=a2-2(a-2)=(a-1)2+3
これを最小にするaの値はa=1
(3) このときα+β=-1、αβ=-1
∴(β-α)2=(α+β)2-4αβ=1+4=5
α<βの時β-α>0よりβ-α=
√5

特別問題B~数学~

(1) OA=2からOA=(2cosθ,2sinθ) S1とS2の接点をQとする。
AQとx軸の正の向きとのなす角がθ+πであるから、APとx軸の正の向きとのなす角は(θ+π)+θ=2θ+π
よって、AP=(cos(2θ+π),sin(2θ+π))=(-cos2θ,-sin2θ)
ゆえにOPOAAP=(2cosθ-cos2θ,2sinθ-sin2θ)
したがって、x(θ)=2cosθ-cos2θ、y(θ)=2sinθ-sin2θ
(2) x(2π-θ)=2cos(2π-θ)-cos2(2π-θ)=2cosθ-cos2θ=x(θ)
y(2π-θ)=2sin(2π-θ)-sin2(2π-θ)=-2sinθ+sin2θ=-y(θ)
よって、曲線Cはx軸に関して対称である。 ■
(3) dx(θ)/dθ=-2sinθ+2sin2θ=2sinθ(2cosθ-1) 0<θ<πにおいてdx(θ)/dθ=0とするとθ=π/3
また、x(π/3)=3/2、x(π)=-3
0≦θ≦π/3におけるyをy1、π/3≦θ≦πにおけるyをy2とすると、曲線Cで囲まれてできる図形のx軸の上側の部分の面積S1

$S_1=\int^{\frac{3}{2}}_{-3} y_2 dx-\int^{\frac{3}{2}}_{1}y_1 dx$

$=\int^{\frac{π}{3}}_π y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ-\int^{\frac{π}{2}}_{0}y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ$

$=\int^0_π y(θ) \frac{dx(θ)}{dθ}dθ=\int^0_π (2sinθ-sin2θ)(-2sinθ+2sin2θ)dθ$

$=\int^π_0 (2sin^2θ-3sinθsin2θ+sin^22θ)dθ $

$=2 \int^π_0 \left (2・\frac{1-cos2θ}{2}-6sin^2θcosθ+\frac{1+cos4θ}{2} \right)dθ$

$=2 \left [\frac{3}{2}θ-\frac{1}{2}sin2θ-2sin^3θ-\frac{1}{8}sin4θ \right]^π_0=3π$

よって、求める面積SはS=2S1-π・12=6π-π=5π

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