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2482時間目 ~漢検一級~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 褊狭

Ⅱ 騙局

Ⅲ 驕児

Ⅳ 三緘

Ⅴ 敦圉

Ⅵ 渥眄

Ⅶ 惰肄

Ⅷ 奥渫

Ⅸ 倡首

Ⅹ 謫所

Ⅺ 解繳

Ⅻ 蟄龍

特別問題A~数学~

3次曲線C:y=x3-4xとその上の点P(2,0)について考える。曲線Cに接する接線が曲線Cと交わる点をQとする。また、RはPと異なる曲線Cの点であってそして直線PRは曲線CにRで接するものとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Qのx座標を求めよ。
(2) 点Rのx座標を求めよ。
(3) 直線PRと曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ。 
[姫路工大]

特別問題B~数学~

関数f(x)=x/(1+x2)について以下の問いに答えよ。

(1) 曲線y=f(x)の増減、極値および変曲点を調べ、このグラフの概形を描け。
(2) a>0として

とする。S(2a)=2S(a)となるaの値を求めよ。 
[九州工業大]


2482時間目模範解答

Ⅰ 褊狭・・・へんきょう
意味
①:土地が狭いこと。
②:心の狭いこと。

Ⅱ 騙局・・・へんきょく
意味:他人を欺くこと。また、その手段。

Ⅲ 驕児・・・きょうじ
意味
①:わがままな子供。
②:おごり高ぶった者。

Ⅳ 三緘・・・さんかん
意味:三重に口を封じる。言を慎む意。

Ⅴ 敦圉・・・とんぎょ
意味:さかんに怒るさま。むきになるさま。いきまくさま。

Ⅵ 渥眄・・・あくべん
意味:手厚く引き立てること。

Ⅶ 惰肄・・・だし
意味:怠けて気まま。いい気になって怠ける。

Ⅷ 奥渫・・・おうせつ
意味:暗くて汚れている。

Ⅸ 倡首・・・しょうしゅ
意味:真っ先にとなえる者。首唱者。

Ⅹ 謫所・・・たくしょ
意味:罪によって流され居る所。

Ⅺ 解繳・・・かいしゃく
意味:送り返される。引き渡す。

Ⅻ 蟄龍・・・ちつりゅう
意味:隠れている龍。転じて、時を得ない英雄のたとえ。

特別問題A~数学~

(1) f(x)=x3-4xとおくと、f'(x)=3x2-4であるから点Pにおける接線の方程式はy=f'(2)(x-2) ∴y=8(x-2)
これとf(x)を連立させてx^3-4x=8(x-2)⇔(x-2)2(x+4)=0
∴x=2,-4 点Pと点Qは異なる点であるから点Qのx座標は-4
(2) 点Rのx座標をRとすると、曲線Cの点Rにおける接線の方程式はy=(3r2-4)(x-r)+r3-4r ∴y=(3r2-4)x-2r3
これが点(2,0)を通るから0=(3r2-4)・2-2r3⇔(r+1)(r-2)2=0
r≠2より点Rのx座標は-1
(3) (2)の結果より、直線PRの方程式はy=-x+2であるから直線PRと曲線Cで囲まれた部分はの青色部分である。
よって求める面積は

特別問題B~数学~

(1)
\[f(x)=\frac{x}{1+x^2}だからf'(x)=\frac{1・(1+x^2)+x・2x}{(1+x^2)^2} \] \[f''(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-(1-x^2)・2(1+x)・2x}{(1+x^2)^4}=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3} \]

$したがって、f(x)の増減、凹凸は図1$
 
$これより極大値f(1)=\frac{1}{2}、極小値=f(-1)=\frac{1}{2}、変曲点(\pm \sqrt{3},\pm \frac{\sqrt {3}}{4})$
図1
$また$

\[
  \lim_{x \to \infty} f(x)=0
\]

$よりf(x)の概形は図2$
図2

(2) \[\int_0^a f(x) dx =[\frac{1}{2}\log(1+x^2)]^a_0=\frac{\log(1+a^2)}{2}\] $であるから、S(2a)=2S(a)より$ $\frac{\log(1+4a^2)}{2}=2・\frac{\log(1+a^2)}{2}⇔1+4a^2=(1+a^2)^2⇔a^2(a^2-2)=0$ $よってa>0よりa=\sqrt{2}$


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