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2475時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 雑居房

Ⅱ 会遇

Ⅲ 戴角

Ⅳ 流れに耳を洗う

レベルⅡ

Ⅰ 昏姻

Ⅱ 昌運

Ⅲ 宴酣

レベルⅢ

Ⅰ 尭鼓舜木

Ⅱ 趨翔

Ⅲ 陁陊

特別問題A~数学~

自然数nに対してA(n)をn2+3n+2の値の一の位とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) j+k=7を満たすjとkについて、A(j)=A(k)となることを示せ。
(2) j+k=97を満たすjとkについて、A(j)=A(k)となることを示せ。
(3) jを5の倍数とするとき、任意のnについてA(j+n)=A(n)となることを示せ。 
[島根大]

特別問題B~数学~

次の条件(i),(ii)をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。

(i) Nの正の約数は12個。
(ii) Nの正の約数は小さいほうから順に並べた時、7番目の数は12。
但し、Nの約数には1とNも含める。 
[東京工大]


2475時間目模範解答

Ⅰ 雑居房・・・ざっきょぼう
意味:刑務所や拘置所で、複数の収容者を入れておく居室。

Ⅱ 会遇・・・かいぐう
意味:偶然出会うこと。出くわすこと。

Ⅲ 戴角・・・たいかく
意味:角を付けていること。また、その角を付けたもの。

Ⅳ 流れに耳を洗う・・・なが(れに)みみ(を)あら(う)
意味:ひとり身を清くして世俗から逃れるたとえ。

レベルⅡ

Ⅰ 昏姻・・・こんいん
意味:夫婦の縁組をすること。

Ⅱ 昌運・・・しょううん
意味:物事が盛んになる回り合わせ。

Ⅲ 宴酣・・・えんかん
意味:酒盛りがたけなわになる。

レベルⅢ

Ⅰ 尭鼓舜木・・・しょうこしゅんぼく
意味:人の善言をよく聞き入れること。

Ⅱ 趨翔・・・すうしょう
意味:日常の動作。立ち振る舞い。

Ⅲ 陁陊・・・ちた
意味:だらりとくずれおちる。

特別問題A~数学~

(1) f(n)=n2+3n+2=(n+1)(n+2)とおくと、k=7-jより
f(j)-f(k)=f(j)-f(7-j)=j2+3j+2-(8-j)(9-j)=j2+3j+2-(j2-17j+72)=10(2j+7)
すなわち、f(j)-f(k)は10で割り切れるからA(j)=A(k) ■
(2) k=97-jであるから
f(j)-f(k)=f(j)-f(97-j)=j2+3j+2-(98-j)(99-j)=10(20j-970)
よって(1)と同様に考えてA(j)=A(k)
(3) j=5m(m:整数)とすると
f(n+j)-f(n)=f(n+5m)-f(n)=(n+1+5m)(n+2+5m)-(n+1)(n+2)=10mn+15m+25m2=10m(n+2m+1)+5m(m+1)
ここで、m(m+1)は連続する2整数の積であるからm(m+1)は偶数であり、5m(m+1)は10で割り切れる。
すなわちf(n+j)-f(n)は10で割り切れる。
∴A(n+j)=A(n)

特別問題B~数学~

12=22・3はNの7番目の約数であるから、1,2,3,4,6の5個の整数が12の約数で、これら以外の約数をxとするとx=5,7,23,32,2・5,11・・・①のいずれかでなければならない。
Nの正の約数が12(=2×6、3×4、2×2×3)であるからNを素因数分解すると①よりNは
(i)x=5または2・5のとき2a3b5c
(ii)x=7のときN=2a3b7c
(iii)x=23のときN=2a3b
(ⅳ)x=11のときN=2a3b11c
の形でなければならない。
(i)のとき、この場合は5、2・5もNの約数になるので12が7番目の約数にはならない。
(ii)のとき、12=(a+1)(b+1)(c+1)≧3・2・2=12 a≧2に注意すると等式はa=2、b=1、c=1のとき成立するのでN=22・31・71=84
(iii)のとき12=(a+1)(b+1) ∴(a,b)=(2,3),(3,2),(5,1)
(a,b)=(2,3)のときN=22・33=108、(a,b)=(3,2)のとき23、32はNの約数だから不適。(a,b)=(5,1)のときN=25・31=96
(ⅳ)のとき12=(a+1)(b+1)(c+1)≧3・2・2=12 a≧12に注意すると等号はa=2,b=1,c=1のとき成立するのでN=22・31・111=132
以上より 
N=84,96,108,132

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2476時間目 ~BASIC~

2474時間目 ~漢検一級~

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