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2438時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 敗筆

Ⅱ 手を以て額に加う

Ⅲ 病力

Ⅳ 馬氏五常

レベルⅡ

Ⅰ 朝膳

Ⅱ 淫麗

Ⅲ 長鯨の百川を吸う

レベルⅢ

Ⅰ 橛橛

Ⅱ 威霆

Ⅲ 皦如

特別問題A~数学~

0≦x<2πのとき、xの関数y=2sinx+cos2xの最大値と最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。 [福島大]

特別問題B~数学~

自然数の2乗となる数を平方数という。

(1) 自然数a,n,kに対して、n(n+1)+a=(n+k)2が成り立つとき、a≧k2+2k-1が成り立つことを示せ。
(2) n(n+1)+14が平方数となるような自然数nをすべて求めよ。 
[北海道大]


2438時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 敗筆・・・はいひつ
意味:使い古しの筆。

Ⅱ 手を以て額に加う・・・て(を)もっ(て)ひたい(に)くわ(う)
意味:喜び望むさま。

Ⅲ 病力・・・びょうりょく
意味:病気の重いこと。

Ⅳ 馬氏五常・・・ばしごじょう
意味:兄弟がそろって優秀なことを褒めること。

レベルⅡ

Ⅰ 朝膳・・・ちょうぜん
意味:朝の食事。また、朝食のの献立。

Ⅱ 淫麗・・・いんれい
意味:度を越えて美しく飾り立てること。

Ⅲ 長鯨の百川を吸う・・・ちょうげい(の)ひゃくせん(を)す(う)
意味:大酒を飲むことのたとえ。

レベルⅢ

Ⅰ 橛橛・・・けつけつ
意味:立ってゆるがないさま。物に動じないさま。

Ⅱ 威霆・・・いてい
意味:激しい雷。転じて、非常な威力、恐ろしい剣幕。

Ⅲ 皦如・・・きょうじょ
意味:明らかな様子。

特別問題A~数学~

2倍角の公式よりy=2sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+2sinx+1
ここでsinx=tとおくと、0≦x<2πより-1≦t≦1であり、y=-2t2+2t+1=-2(t-1/2)2+3/2
よってyはt=1/2で最大値3/2、t=-1のとき最大値-3をとる。
0≦x<2πの範囲でt=1/2のときx=π/6,5π/6、t=-1のときx=3π/2
したがって、
x=π/6,5π/6のとき最大値3/2、x=3π/2のとき最大値-3

特別問題B~数学~

(1) n(n+1)+a=(n+k)2・・・①よりa=(2k-1)n+k2
右辺はnの1次式で2k-1≧2・1-1=1>0だからkを任意に固定するごとにn=1で最小値(2k-1)・1+k2=k2+2k-1をとる。
∴a≧k2+2k-1 ■
(2) n(n+1)+14>n2であるから左辺が平方数となるとするとそれは①の右辺の形である。
このとき(1)より14≧k2+2k-1⇔(k+5)(k-3)≦0
kは自然数だからk=1,2,3 ①でa=14として
k=1のときn(n+1)+14=(n+1)2 ∴n=13
k=2のときn(n+1)+14=(n+2)2 3n=10を満たす自然数はない。
k=3のときn(n+1)+14=(n+3)2 5n=5よりn=1
以上から求めるnの値は
1,13

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