2436時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 博渉

Ⅱ 子母相権

Ⅲ 厳然

Ⅳ 陰頭を張る

レベルⅡ

Ⅰ 才槌で蝸牛を打つよう

Ⅱ 哀哭

Ⅲ 壁塞

レベルⅢ

Ⅰ 篇什

Ⅱ 諔詭

Ⅲ 銖両の姦

特別問題A~数学~

次の連立不等式を表すxy平面の領域をDとする。
・y≧x2-6x+7
・x+y-3≦0

(1) 領域Dを図示しなさい。
(2) 領域Dにおける点(x,y)について、x2+yの最大値、最小値を求めなさい。 
[福島大]

特別問題B~数学~

空間内の4点O(0,0,0)、A(0,2,3)、B(1,0,3)、C(1,2,0)を考える。

(1) 4点O,A,B,Cを通る球面の中心Dの座標を求めよ。
(2) (1)において、3点A,B,Cを通る平面に点Dから垂線を引き、交点をFとする。線分DFの長さを求めよ。
(3) (1)において、四面体ABCDの体積を求めよ。 
[九州大]


2436時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 博渉・・・はくしょう
意味:広くわたる。広く物事を見聞する。

Ⅱ 子母相権・・・しぼそうけん
意味:大小二種の貨幣を互いに助け合って通行させること。

Ⅲ 厳然・・・げんぜん
意味:おごそかで重々しく、近寄りにくいさま。また確固として動かしにくいさま。

Ⅳ 陰頭を張る・・・かげあたま(を)は(る)
意味:憎らしい者に対して、陰で頭を殴る真似をする。

レベルⅡ

Ⅰ 才槌で蝸牛を打つよう・・・さいづち(で)かたつむり(を)う(つよう)
意味:ひとたまりもなく砕け散るさまの形容をいう。

Ⅱ 哀哭・・・あいこく
意味:悲しんで声をあげて泣く。

Ⅲ 壁塞・・・へきそく
意味:ふさがって通じない。

レベルⅢ

Ⅰ 篇什・・・へんじゅう
意味:詩歌をあつめたもの。また、その詩歌。

Ⅱ 諔詭・・・しゅくき
意味:怪しげなこと。奇異なこと。

Ⅲ 銖両の姦・・・しゅりょう(の)かん
意味:ささいな悪事。

特別問題A~数学~

(1) 連立不等式の表す領域Dの境界線は、y≧x2-6x+7・・・①、x+y-3≦0・・・②
①についてy=(x-3)2-2
①、②の共有点については①、②からyを消去してx2-5x+4=0 ∴(x-1)(x-4)=0よりx=1,4
ゆえに共有点の座標は(1,2)、(4,-1)
よって連立不等式の表す領域Dはで境界含む。
(2) x2+y=k・・・③とおくと、これは軸がx軸で頂点の座標が(0,k)である上に凸の放物線y=-x2+kを表す。
①、③からyを消去すると2x2-6x+7-k=0
①、③が接するとき判別式D/4=9-2(7-k)=2k-5=0 k=5/2
このとき、接点のx座標は3/2だから、接点はDの境界線上にある。
また、③が(1,2),(4,-1)を通るときの値はそれぞれk=12+2=3、k=42-1=15
以上のことからkの取りうる範囲は5/2≦k≦15
よって、x2+yの最大値、最小値は
最大値15、最小値5/2

特別問題B~数学~

(1) D(a,b,c)とすると、OD=AD、OD=BD、OD=CDから
a2+b2+c2=a2+(b-2)2+(c-3)2、a2+b2+c2=(a-1)2+b2+(c-3)2、a2+b2+c2=(a-1)2+(b-2)2+c2
したがって、4b+6c=13、a+3c=5、2a+4b=5
これを解いてa=1/2、b=1、c=3/2
よって、中心Dの座標は(1/2,1,3/2)
(2) 点Fは3点A,B,Cを通る平面上にあるからAF=sAB+tAC(s,t:実数)と表される。
よってAF=s(1,-2,0)+t(1,0,3)=(s+t,-2s,-3t)
ゆえにDFDAAF=(-1/2,1,3/2)+8s+t,-2s,-3t)=(s+t-1/2,-2s+1,-3t+3/2)・・・①
ABDFACDFであるからABDF=0、ACDF=0
ここでABDF=5s+t-5/2、ACDF=s+10t-5
したがって5s+t-5/2=0、s+10t-5=0 ∴s=20/49、t=45/98
よって①からDF=(18/49.9/49.6/49)=3/49・(6,3,2)
ゆえに、線分DFの長さは|DF|=3√(62+32+22)/49=3/7
(3) 四面体ABCDの体積をVとすると、V=1/3△ABC・DF
ここで△ABC=√{|AB|2|AC|2-(ABAC)2}=√(5・10-12)/2=7/2
よって、V=1/3・7/2・3/7=
1/2

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