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2431時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 収成

Ⅱ 出板

Ⅲ 失望落胆

レベルⅡ

Ⅰ 洛陽の紙価高し

Ⅱ 溝渓

Ⅲ 榴火

レベルⅢ

Ⅰ 崔隤

Ⅱ 圮地

Ⅲ 讞讞

FINAL

井口辺草

特別問題A~数学~

のように1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ合わせた六面体がある。この六面体を直線PQを軸として回転させるとき、この六面体が通過する部分の体積を求めよ。

特別問題B~数学~

複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を1周するとき、w=2√2z-z2で表される点wの軌跡が虚軸と交わる回数を求めよ。 [大阪大]


2431時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 収成・・・しゅうせい
意味:秋をいう。熟した穀物を収穫する意。

Ⅱ 出板・・・しゅっぱん
意味:本などを印刷して世に出すこと。出版とおなじ。

Ⅲ 失望落胆・・・しつぼうらくたん
意味:希望を失って、がっかりすること。

レベルⅡ

Ⅰ 洛陽の紙価高し・・・らくよう(の)しかたか(し)
意味:著書がよく売れることをいう。

Ⅱ 溝渓・・・こうけい
意味:みぞや谷。寂しい田舎のこと。

Ⅲ 榴火・・・りゅうか
意味:ザクロの花のこと。

レベルⅢ

Ⅰ 崔隤・・・さいたい
意味:つまずくこと。

Ⅱ 圮地・・・ひち
意味:険阻で車行の難しい土地。

Ⅲ 讞讞・・・げんげん
意味:正しいさま。

FINAL

井口辺草・・・いのもとそう[]

特別問題A~数学~

頂点Pから△ABCに垂線POを下ろし、辺BCの中点をMとする。
この六面体の内部が通過する部分の体積は、半径OAの円を底面OPを高さとする円錐の体積の2倍である。次に、この六面体が通過しない部分の体積は、半径OMの円を底面、OPを高さとする円錐の体積の2倍である。
よって、V=2×1/3×OA2・OP=2×π/3×OM2・OP・・・①
△AMCは∠M=90°、∠C=60°、AC=2の三角形であるからAM=√3であり、Oは△ABCの重心である
OA=2/3AM=2√3/3、OM=1/3AM=√3/3
また、OP=√(PA2-OA2)=2√6/3
これらを①に代入してV=2π/3・(OA2-OM2)・OP=2π/3・(4/3-1/3)・2√6/3=
4√6π/9

特別問題B~数学~

点zは原点を中心とする半径1の円周上を1周するからz=cosθ+isinθ (0≦θ≦2π)とおくと
w=2√2z-z2=2√2(cosθ+isinθ)-(cosθ+isinθ)2=2√2(cosθ+isinθ)-(cos2θ+isin2θ)=(2√2cosθ-cos2θ)+i(2√2sinθ-sin2θ)
wの実部をxとおくと
x=2√2cosθ-cos2θ=-2cos2θ+2√2cosθ+1=-2(cosθ-1/√2)2+2
cosθ=tとおくとx=2(t-1/√2)2+2
tに対するxのグラフはのように変化するからθが0から2πまで変化するときxは0<θ<πにおいて正から負に、π<θ<2πにおいて負から正に符号を変える。
よって、点wの軌跡が虚軸と交わる回数は2回

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