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2407時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 脆葉

Ⅱ 浮埃

Ⅲ 間で洟擤む

Ⅳ 掌鞅

レベルⅡ

Ⅰ 揫斂

Ⅱ 獃想

Ⅲ 側金盞花

レベルⅢ

Ⅰ 独脚蜂

Ⅱ 泄顙

Ⅲ 花斑鳥

特別問題A~数学~

直線x+2y-3=0をlとする。次のものを求めよ。

(1) 直線lに関して、点P(0,-2)と対称な点Qの座標
(2) 直線lに関して、直線m:3x-y-2=0と対称な直線nの方程式

特別問題B~数学~

半径rの円は連立不等式
・y≦x2
・y≧-(x-6)2
の表す平面上の領域の中を自由に動かすことができるrの最大値を求めよ。 
[一橋大]


2407時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 脆葉・・・ぜいよう
意味:やわらかい葉。

Ⅱ 浮埃・・・ふあい
意味:浮遊しているほこり。

Ⅲ 間で洟擤む・・・あいだ(で)はなか(む)
意味:金銭を授受する両者の間にいて、金銭の一部をくすねる。

Ⅳ 掌鞅・・・しょうおう
意味:忙しく骨折る。

レベルⅡ

Ⅰ 揫斂・・・しゅうれん
意味:集めおさめる。

Ⅱ 獃想・・・がいそう
意味:ぼんやりしていること。

Ⅲ 側金盞花・・・ふくじゅそう[]
キンポウゲ科の多年草。

レベルⅢ

Ⅰ 独脚蜂・・・きばち[]
キバチ科の昆虫の総称。

Ⅱ 泄顙・・・せっそう
意味:ひたいに汗をかく。

Ⅲ 花斑鳥・・・かのこどり[]
鳥のカワセミの一種。

特別問題A~数学~

(1) 点Qの座標を(p,q)とする。直線PQはlに垂直であるから
(q+2)/p・(-1/2)=-1 ゆえに2p-q-2=0・・・①
線分PQの中点(p/2,(q-2)/2)は直線l上にあるから
p/2+2・(q-2)/2-3=0 ゆえにp+2q-10=0・・・②
①、②を解いてp=14/5、q=18/5 よって、Q(14/5,18/5)
(2) l,mの方程式を連立して解くと、x=1,y=1
ゆえに、2直線l,mの交点Rの座標は(1,1)
また、点Pの座標を直線mの方程式に代入すると3・0-(-2)-2=0
となるから、点Pは直線m上にある。
よって、直線nは2点Q,Rを通るからその方程式は
(18/5-1)(x-1)-(14/5-1)(y-1)=0 整理して 
13x-9y-4=0

特別問題B~数学~

連立不等式が表す領域はのような2つの放物線y=x2・・・①、y=-(x-6)2・・・②の外側の範囲である。
円がこの領域を自由に動けるための条件は、直径が2つの放物線の間の最短距離PQ以下であることである。
線分PQは、点PおよびQでの接線と垂直になるときに最短となる。①と②を微分するとそれぞれy'=2x、y'=-2(x-6)である。
P(t,t2)とおくと、Pでの接線の傾きは2tである。
Qでの接線がこれと平行になるため、-2(x-6)=2t、x=6-tになりQの座標はQ(6-t,-t2)となる。
このとき線分PQの傾きは{t2-(-t2)}/{t-(6-t)}=t2/(t-3)である。
PQがPでの接線と垂直になるため、2t×t2/(t-3)=-1
∴2t2+t-3=0 (t-1)(2t2+2t+3)
tは実数よりt=1
よって、P(1,1),Q(5,-1)、PQ=2√5よりrの最大値は
√5

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