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2327時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 木香

Ⅱ 概要

Ⅲ 濡需

Ⅳ 十人寄れば十国の者

レベルⅡ

Ⅰ 水凌

Ⅱ 箕賦

Ⅲ 醜婦の仇

レベルⅢ

Ⅰ 篁逕

Ⅱ 絳英

Ⅲ 踆踆

特別問題A~数学~

三角形ABCがあり、各辺の長さがAB=5、BC=7、CA=4である。次の各問いに答えなさい。

(1) cosAを求めなさい。ここでAは∠BACの大きさとする。
(2) 三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。
(3) 三角形ABCの面積を求めなさい。
(4) 辺BC上に点Pを、∠CAP=π/3となるようにとる。∠BAP=θとおくときsinθの値を求めなさい。
(5) 線分APの長さを求めなさい。 
[福島大]

特別問題B~数学~

a,bを定数とし、f(x)=x3-3ax2+3b2x+b(a-6)+2a2(3-a)とおく。

(1) f(x)=0が3重解を持つための条件を求めよ。
(2) f(x)=0の異なる解の個数を求め、それぞれの個数を取る点(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。 
[滋賀医大]


2327時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 木香・・・もっこう[]
キク科の多年草。

Ⅱ 概要・・・がいよう
意味:全体の要点を取りまとめたもの。

Ⅲ 濡需・・・じゅじゅ
意味:しばらくの間、安逸をむさぼる。

Ⅳ 十人寄れば十国の者・・・じゅうにんよ(れば)とこく(の)もの
意味:大勢の人がいれば生まれはいろいろだということ。

レベルⅡ

Ⅰ 水凌・・・すいりょう
意味
①:つらら。たるひ。
②:厳重で激しいこと。

Ⅱ 箕賦・・・きふ
意味:箕ですくいとるように、民の財を厳しく取り立てる。

Ⅲ 醜婦の仇・・・しゅうふ(の)あだ
意味:賢臣は奸臣の目のかたきであることをいう。

レベルⅢ

Ⅰ 篁逕・・・こうけい
意味:竹やぶの中の小道。

Ⅱ 絳英・・・こうえい
意味:真紅の花。赤い花ぶき。

Ⅲ 踆踆・・・しゅんしゅん
意味:行き走るさま。おどり行くさま。

特別問題A~数学~

(1) 余弦定理よりcosAー(52+42-72)/(2・5・4)=-1/5
(2) (1)よりsinA=√(1-(-1/5)2)=2√6/5 △ABCの外接円の半径をRとすると7/sinA=2RよりR=7/2・5/2√6=35√6/24
(3) △ABC=1/2・5・4sinA=10・2√6/5=4√6
(4) A=θ+π/3であるからsinθ=sin(A-π/3)=sinAcos(π/3)-cosAsin(π/3)=2√6/5・1/2-(-1/5)・√3/2=(2√6+√3)/10
(5) △APB+△ACP=△ABCより1/2・5・APsinθ+1/2・4・APsin(π/3)=4√6
(5/2・(2√6+√3)/10+2・√3/2)AP=4√6 (2√6+5√3)AP=16√6
(5+2√2)AP=16√2 よってAP=16√2/(5+2√2)=
(80√2-64)/17

特別問題B~数学~

(1) f(x)=x3-3ax2+3b2x+b(a-6)+2a2(3-a) f(x)=0がx=αを3重解としてもつとき、f(x)=(x-α)3とかける。
したがって、f(x)=0が3重解を持つための条件はf(x)=f'(x)=f''(x)=0を満たす実数xが存在することである。
ここでf'(x)=3x2-6ax+3b2=3{(x-a)2-a2+b2}、f''(x)=6(x-a)であるからf'(a)=3(-a2+b2)=0
f(a)=2(2a-3)(-a2+b2)=0 よって求める条件は-a2+b2=0 ∴b=±a
(2) (i)-a2+b2≧0のとき、f'(x)≧0であるから、f(x)は単調増加である。したがって、f(x)=0の解の個数は1である。
(ii)-a2+b2<0のとき、f'(x)=0よりx=a±√(a2-b2)
そこでα=a-√(a2-b2)、β=a+√(a2-b2)とおくとf(x)=1/3・f'(x)(x-a)-2(a2-b2)(x+a-3)であるから
f(α)・f(β)=4(a2-b2)2(α+a-3)(β+a-3)=4{(a2-b2)2{(2a-3)-√(a2-b2)}×{(2a-3)+√(a2-b2)}}=4(a2-b2)2(3a2+b2-12a+9)
したがってf(α)f(β)<0⇔3a2+b2-12a+9<0 (a-2)2+b2/3<1となり、このとき解の個数は3である。
また、(a-2)2+b2/3=-1のときにf(α)f(β)=0だから解の個数は2であり、さらに(a-2)2+b2/3>1のとき、解の個数は1となる。
以上、(i),(ii)より異なる解の個数が1,2,3の場合の点(a,b)の存在範囲を順に図示すると図1図2図3のようになる。但し境界は白丸は含まない。

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