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2276時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 天資

Ⅱ 染指

Ⅲ 淡水の交わり

Ⅳ 相互扶助

レベルⅡ

Ⅰ 掠有

Ⅱ 少焉

Ⅲ 薪尽火滅

レベルⅢ

Ⅰ 楂枒

Ⅱ 楛僈

Ⅲ 佐十爺臼

特別問題A~数学~

直線l:x+2y-6=0上に点Pをとり、曲線S:x2+4y2=8上に点Qをとる。P,Qが動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。 [準一級配当]

特別問題B~数学~

方程式2x2-2xy+y2-4x+3=0の表す曲線をCとするとき、次の問いに答えよ。

(1) 点P(x,y)が曲線C上を動くとき、原点Oと点Pを通る直線の傾きy/xの最大値と最小値を求めよ。また、そのときのx,yの値を求めよ。
(2) 曲線Cで囲まれた図形の面積を求めよ。 
[信州大]


2276時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 天資・・・てんし
意味:生まれつきの資質。天性。

Ⅱ 染指・・・せんし
意味
①:物に指を突っ込んで舐めること。
②:物事に着手すること。

Ⅲ 淡水の交わり・・・たんすい(の)まじ(わり)
意味:水のようにあっさりとさっぱりした交わり。

Ⅳ 相互扶助・・・そうごふじょ
意味:お互いに助け合うこと。

レベルⅡ

Ⅰ 掠有・・・りゃくゆう
意味:土地をせめとる。

Ⅱ 少焉・・・しょうえん
意味:少し時間がたった後で。しばらくして。

Ⅲ 薪尽火滅・・・しんじんかめつ
意味:人が死ぬこと。

レベルⅢ

Ⅰ 楂枒・・・さが
意味:入り交じってそろわないさま。ギザギザとしているさま。

Ⅱ 楛僈・・・こまん
意味:堅固でない。また、判断が粗忽で軽率なこと。

Ⅲ 佐十爺臼・・・さとおじうす
意味:修理をして元より悪くすることのたとえ。

特別問題A~数学~

曲線Sは、楕円x2/8+y2/2=1 線分PQの長さが最小になるとき点Qは、直線lに平行な直線とSが接するときの直線lに近いほうの接点である。
直線lと平行な直線は、l':x+2y+k=0 (k≠-6)とおける。l'とSの2式を連立すると、8y2+4ky+k2-8=0・・・①
l'とSが接するとき、判別式D=0であるからD/4=4k2-8(k2-8)=-4(k2-16)=0
よってk=-4,4 Sと接するlに平行な直線のうちlに近いほうは、x+2y-4=0
①にk=-4を代入して(y-1)2=0 よってy=1
したがって、接点は(2,1)となり、これが点Qである。点Qと直線lとの距離が、線分PQの長さの最小値となるから
|2+2×1-6|/√(1+4)=2/√5=
2√5/5

特別問題B~数学~

(1) 2x2-2xy+y2-4x+3=0・・・① y/x=mとおくと、y=mxでこれを①に代入すると
2x2-2x・mx+(mx)2-4x+3=0
∴(m2-2m+2)x2-4x+2=0・・・② m2-2m+2=(m-1)2+1≠0だから②が実数解をもつ条件より
(-2)2-(m2-2m+2)・3≧0 3m2-6m+2≦0 よって(3-√3)/2≦m≦(3+√3)/2・・・③
また、②の重解はx=2/(m2-2m+2)であり、③において等号が成立するとき、m2-2m=-2/3 ∴x=3/2である
よって最大値(3+√3)/3、(x,y)=(3/2,(3+√3)/2)、最小値(3-√3)/3、(x,y)=(3/2,(3-√3)/2)
(2) ①をyについて解くとy=x±√(-x2+4x-3)=x±√(1-(x-2)2)であるから定義域は1-(x-2)2≧0より1≦x≦3
したがって、求める面積をSとすると

(∵中心(2,0)、半径1の円の面積)

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