2013時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 夏屋

Ⅱ 縄枢

Ⅲ 緩怠

レベルⅡ

Ⅰ 俗耳に入り易い

Ⅱ 黄髪番番

Ⅲ 怨畔

レベルⅢ

Ⅰ 釐剔

Ⅱ 銍艾

Ⅲ 鋤蹶

FINAL

防風

特別問題A~中学数学~

のように4点A,B,C,Dが円の周上にあり、∠BAD=120°、∠BADの二等分線と円との交点をCとする。また、ACとBDの交点をEとしし、BC=12、CE=8√2とするとき、次の問に答えなさい。

(1) △BCE∽△ACBを証明しなさい。
(2) AEの長さを求めなさい。
(3) △BCDの面積を求めなさい。
(4) 円の半径を求めなさい。
(5) 四角形ABCDの面積を求めなさい。 
[滝高]

特別問題B~高校数学~

a,b,c,dを正の数とする。不等式
・s(1-a)-tb>0
・-sc+t(1-d)>0
を同時に満たす正の数s,tがあるとき、2次方程式x2-(a+d)x+(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。 
[東京大]

2013時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 夏屋・・・かおく
意味
①:立派なごちそう。
②:大きな家。

Ⅱ 縄枢・・・じょうすう
意味:縄で縛ってある戸。貧しい家のたとえ。

Ⅲ 緩怠・・・かんたい
意味:気が緩み、おこたるさま。

レベルⅡ

Ⅰ 俗耳に入り易い・・・ぞくじ(に)はい(り)やす(い)
意味:世間一般の人が聞いて理解しやすい。

Ⅱ 黄髪番番・・・こうはつはは
意味:老人の白髪が黄色味を帯びている形容。また、そのような老人。

Ⅲ 怨畔・・・えんぱん
意味:うらんでそむく。

レベルⅢ

Ⅰ 釐剔・・・りてき
意味:かりのける。削り去る。

Ⅱ 銍艾・・・てつがい
意味:禾を刈り取る。また、鎌で禾を刈る。転じて、禾穂。

Ⅲ 鋤蹶・・・じょけつ
意味:すきで掘り返すこと。

FINAL

防風・・・はますがな、ぼうふう、はまぼうふう[]
セリ科の多年草。

特別問題A~中学数学~

(1) △BCEと△ACBにおいて、弧CDに対する円周角は等しいから∠EBC=∠DAC。ACは∠BADの二等分線だから∠DAC=∠BAC。よって∠EBC=∠BAC・・・①
また、共通の角だから∠BCE=∠ACB・・・②
①.②より2組の角がそれぞれ等しいから△BCE∽△ACB ■
(2) (1)よりBC:AC=CE:CB=12:(AE+8√2)=8√2:12 ∴AE=√2
(3) 弧BCに対する円周角は等しいから∠BDC=∠BAC=120°÷2=60°
また、弧CDに対する円周角は等しいから∠DBC=∠DAC=120°÷2=60°
△BCDは1辺の長さが12の正三角形だから面積は√3/4×12236√3
(4) 円の中心をOとし、Oから辺BCに垂線OHを引くと、△BOHは∠BOH=60°の直角三角形だからBO=2/√3×BH=2√3/3×12/2=4√3
(5) △BCDと△BADは、底辺BDが共通だから、面積比は高さの比に等しい。
高さの比はCE:AE=8√2:√2=8:1に等しいから△BAD=1/8×△BCD
よって、四角形ABCD=△BAD+△BCD=9/8×△BCD=9/8×36√3=
81√3/2

特別問題B~高校数学~

・s(1-a)-tb>0・・・①
・-sc+t(1-d)>0・・・②
①とa>0、b>0、s>0、t>0とから0<t/s<(1-a)/b・・・③
②とc>0、d>0、s>0、t>0とから0<s/t<(1-d)/c・・・④
③、④から0<a<1・・・⑤ 0<d<1・・・⑥ また、③、④を辺ごとにかけて1<(1-a)(1-d)/bc ∴ad-bc-(a+d)+1>0・・・⑦
いま、f(x)=x2-(a+d)x+(ad-bc)=(x-(a+d)/2)2-{(a-d)2+4bc}/4とおくと、⑤、⑥およびb>0、c>0とから0<(a+d)/2<1 -{(a-d)2+4bc}/4<0
また、f(1)=1-(a+d)+ad-bc>0であり、f(-1)=1+(a+d)+(ad-bc)>f(1)>0となる。
よって、y=f(x)の2次方程式の解は-1<x<1の範囲に異なる2解をもつ。 ■


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