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1439時間目 ~漢検一級~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 惆悵

Ⅱ 雛妓

Ⅲ 堡礁

Ⅳ 糜びる

Ⅴ 邇遐

Ⅵ 鬻徳

Ⅶ 驂鸞

Ⅷ 駢臂

確認問題~数学~

原点を中心とする半径rの円と放物線y=x2/2+1との両方に接する直線のうちに、互いに直交するものがある。rの値を求めよ。 [一橋大]


1439時間目模範解答

Ⅰ 惆悵・・・ちゅうちょう
意味
①:恨み嘆くこと。
②:恨み嘆くさま。

Ⅱ 雛妓・・・すうぎ
意味:一人前ではない芸妓。半玉。

Ⅲ 堡礁・・・ほしょう
意味:島や陸地から少し離れて、海外に平行して発達した珊瑚礁。

Ⅳ 糜びる・・・ほろ(びる)

Ⅴ 邇遐・・・じか
意味:近いことと遠いこと。

Ⅵ 鬻徳・・・いくとく
意味:徳をひさぐ。特恵を人にほどこすこと。

Ⅶ 驂鸞・・・さんらん
意味
①:鸞を添え馬とする。美しい車。
②:美しいもののたとえ。

Ⅷ 駢臂・・・へんぴ
意味:肘を並べる。多く並ぶさま。

確認問題~数学~

y=x2/2+1を微分してy'=x したがって、放物線の任意の接線の方程式は、接線のx座標をtとすると、y=t(x-t)+t2/2+1 ・・・①
と表せる。一般形になおすと2tx-2y-t2+2=0 これが原点を中心とする半径rの円と接するためには|-t2+2|/√(4t2+4)=r よって(-t2+2)2=r2(4t2+4)
∴t4-4(1+r2)t2+4(1-r2)=0 ・・・② t2=sとおくと、s2-4(1+r2)s+4(1-r2)=0 ・・・③
直線①の傾きはtである。よって、円と放物線の共通接線のうち、直交するものがあるための条件は、tの方程式②の中にt1・t2=-1を満たすような2つの実数解t1・t2が存在するということである。sの方程式③の判別式をDとして
D/4=4(1+r2)2-4(1-r2)=4(r4+3r)2>0となるから③は常に2つの異なる実数解を持つ。それをα、β(α>β)とすると、②の解は
t=±√α、±√β ・・・⑤である。③の解と係数の関係よりα+β=4(1+r2)>0なのでα、βの両方が負というわけでなく√αは実数である。
⑤の中に④を満たすような組みがあるとすると+√α、-√α(このときα=1)、+√β、-√β(このときβ=1) ±√α、∓√β(このときαβ=1)のいずれかである。
(i)α=1またはβ=1のとき、s=1を③に代入して1-8r2=0 r=√2/4
(ii)αβ=1の場合、③の解と係数の関係よりαβ=4(1-r2)=1 r=√3/2
以上より、求めるrの値は
r=√2/4、√3/2

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